Logiikan historia

Ilkka Niiniluoto (julkaistu 15.3.2015)

Kirjoitus on (yhdessä artikkelin ”Formaali logiikka” kanssa) Logos-ensyklopediaa varten laajasti muokattu ja päivitetty versio kirjoittajan artikkelista ”Logiikka”, joka on alkujaan ilmestynyt Otavan suuressa ensyklopediassa (1978).

Logiikalla tutkimusalana on pitkä historia antiikista nykypäivään. Usein logiikan historia jaetaan kahteen jyrkästi toisistaan eroavaan osaan, vanhaan ja uuteen logiikkaan, joiden raja sijoittuu vuoden 1850 vaiheille. Tällöin ”modernin logiikan” aloittajia ovat englantilainen George Boole ja saksalainen Gottlob Frege. Tällainen jako aiheuttaa kuitenkin hankaluuksia, sillä esimerkiksi 1600-luvun lopulla vaikuttanut Gottfried Wilhelm Leibniz oli merkittävästi edellä aikaansa. Kenties onkin parempi Joseph Maria Bochenskin (1902–1995) tavoin jaotella logiikan kehitys muutamiin suuriin uudistuskausiin, joita erottavat toisistaan suhteellisen tai täydellisen laman ajat. Todellisia luomiskausia ovat olleet antiikin aikana 300- ja 200-luku eaa., keskiajalla 1200- ja 1300-luku sekä nykyaikana kausi, joka ulottuu 1800-luvun puolivälistä nykypäiviin. Näin länsimaisen logiikan historia käsittää viisi suurta ajanjaksoa: kolme luovaa ja kaksi pysähtyneisyyden vaihetta.

Käsillä olevassa artikkelissa keskitytään logiikan kehitykseen länsimaissa. Antiikin Kreikassa alullepannun logiikan ohella vanhalla ajalla kehitettiin logiikkaa myös Intiassa. Varsinaista formaalia logiikkaa ei siellä kehitetty, mutta sanskritin tyypillisiin ominaisuuksia painottaviin lauserakenteisiin pohjautuen erotettiin päteviä ja epäpäteviä päätelmiä, jotta voitaisiin päätyä tosiin johtopäätöksiin. Logiikka tässä merkityksessä on läheisesti liittynyt tieto-oppiin. Gautaman 100-luvulla kokoma Nyāya-sutra on intialaisen logiikan klassinen perusteos, jonka ideoita kehitettiin seuraavien kuuden vuosisadan kuluessa buddhalaisen, brahmanistisen ja jainalaisen suuntauksen piirissä. Uutta kautta intialaisessa logiikassa edustaa 1400–1600-lukujen Navya-Nyāya.

Katso myös artikkelit Logiikka sekä Formaali logiikka.
  1. Antiikki
  2. Keskiaika
  3. Uusi aika
  4. Moderni logiikka
  5. Viimeaikaisia ilmiöitä
  6. Logiikan historian tutkimus Suomessa
  7. Suositeltavaa jatkolukemista
  8. Kirjallisuus



Antiikki

Aristoteles

Logiikan historia aloitetaan perinteisesti Aristoteleesta (384–322 eaa.) (ks. Aristoteles). Aristoteles ei itse käyttänyt nimeä logiikka – sen otti käyttöön nykyisessä mielessä Aleksanteri Afrodisiaslainen vasta 500 vuotta hänen jälkeensä. Aristoteleen loogisten kirjoitusten kokoelma tuli myöhemmin tunnetuksi nimellä Organon (’väline’). Siihen sisältyvät seuraavat teokset: Kategoriat, joka sisältää Aristoteleen metafysiikkaan liittyvän opin olioiden perustyypeistä; Topiikka ja sen liite Sofistiset kumoamiset (lat. De Sophisticis Elenchis), joissa tarkastellaan väittelytaitoa ja yleisesti hyväksytyistä mielipiteistä lähtevää ”dialektista päättelyä”; Tulkinnasta (lat. De Interpretatione), jossa tutkitaan lauseita ja arvostelmia; Ensimmäinen analytiikka (lat. Analytica Priora), jossa esitetään yleinen syllogismien teoria; sekä Toinen analytiikka (lat. Analytica Posteriora), jossa tutkitaan välttämättä tosista premisseistä lähtevää demonstratiivista päättelyä ja sen asemaa tieteessä. Aristoteleen logiikan ytimenä ovat juuri Ensimmäisen analytiikan määrittelemät syllogismit, jotka ovat kahdesta premissistä ja johtopäätöksestä rakentuvia päätelmiä.

Aristoteleen mukaan yksinkertaisten arvostelmien perusmuoto on ’A on B’, jossa A on subjekti, B on predikaatti ja sana ’on’ on ns. kopula. Tästä syystä Aristoteleen logiikan modernit tulkitsijat pitävät sitä yhtenä predikaattilogiikan muotona, jossa käsitellään attribuutteja eli yksipaikkaisia ominaisuuksia. Lause ’A on B’, jossa predikaatti B omistetaan subjektille A, voi olla singulaarinen, universaalinen tai partikulaarinen riippuen siitä onko subjektiterminä A yksilön nimi (esim. ’Sokrates on nykerönenäinen’), yleinen lajitermi (esim. ’ihminen on eläin’) tai johonkin yksilöön viittaava termi (esim. ’joku ihminen on nykerönenäinen’). Arvostelmat voivat olla myönteisiä tai kielteisiä. Yhdistämällä erottelut universaalinen-partikulaarinen ja myönteinen-kielteinen saadaan neljä arvostelmien perustyyppiä:

A. (Universaalinen, myönteinen) Kaikki A:t ovat B.
E. (Universaalinen, kielteinen) Mitkään A:t eivät ole B.
I. (Partikulaarinen, myönteinen) Jokin A on B.
O. (Partikulaarinen, kielteinen) Jokin A ei ole B.

Tulkinnasta-teoksessa todetaan, että näiden arvostelmien välillä vallitsee ”vastakohtaisuuksien neliö”:

Kontradiktoriset vastakohdat eivät voi olla yhtä aikaa tosia eivätkä yhtä aikaa epätosia, kun taas kontraariset vastakohdat eivät voi olla yhtä alkaa tosia. Aristoteles oletti myös, että A-arvostelmasta seuraa vastaava I-arvostelma, ts. lauseesta ’Kaikki ihmiset ovat eläimiä’ seuraa lause ’Jokin ihminen on eläin’, mikä puolestaan näyttäisi edellyttävän, että ihmisiä on olemassa.

Edellä mainittujen assertoristen eli väittävien arvostelmien lisäksi Aristoteles tarkasteli modaaliteoriassaan apodiktisia arvostelmia (’välttämättä A on B’) ja problemaattisia arvostelmia (’mahdollisesti A on B’).

Syllogistiikan esittelyssä Aristoteles otti käyttöön kirjaimet termien paikalle, mikä merkitsi formaalisen logiikan syntyä. Syllogismit ovat päätelmiä, joissa on kaksi oletusta eli premissiä ja johtopäätös; näiden laadusta riippuen syllogismit ovat assertorisia tai modaalisia. Esimerkiksi

          Kaikki eläimet ovat kuolevaisia (pääpremissi)
    (*) Kaikki ihmiset ovat eläimiä (alipremissi)         
          Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia (johtopäätös)

on pätevä assertorinen syllogismi. Molemmissa premisseissä esiintyvää termiä (tässä: ’eläin’) sanotaan välitermiksi (M), johtopäätöksen predikaatti (tässä: ’kuolevaisuus’) on päätermi (P), ja johtopäätöksen subjekti (tässä: ’ihminen’) on alitermi (S). Loogisesti päteviä syllogismeja saadaan, kun seuraaviin kuvioihin

MP PM MP PM
 SM   SM   MS   MS 
SP SP SP SP
1. kuvio 2. kuvio 3. kuvio 4. kuvio

sijoitetaan tyyppiä A, E, I, O olevia arvostelmia seuraavasti :

1. kuvio: AAA, AAI, AII, EAE, EAO, EIO
2. kuvio: AEE, AEO, AOO, EAE, EAO, EIO
3. kuvio: AAI, AII, EAO, EIO, IAI, OAO
4. kuvio: AAI, AEE, AEO, IAI, EIO, EAO.

Esimerkiksi (*) on muotoa AAA 1. kuviossa.

Aristoteles tunnisti useimmat pätevät syllogismit kuvioissa 1-3 ja pyrki palauttamaan muiden syllogismien pätevyyden kuvion 1 päätelmiin AAA ja EAE. Hänen seuraajansa Theofrastos (n. 370–285 eaa.) esitti 4. kuvion. Syllogismeja koskevat säännöt opeteltiin ja muistettiin keskiajalla muodostamalla kirjainyhdistelmistä AAA, AII, EAE, EIO jne. keinotekoisia nimiä Barbara, Darii, Celarent, Ferio jne.

Modaalilogiikassaan Aristoteles totesi, että ’välttämättä P’ merkitsee samaa kuin ’ei ole mahdollista, että ei P’. Se, mikä on mahdollista mutta ei välttämätöntä, on kontingenttia eli satunnaista. Aristoteleen modaaliteorian perusongelmiin, joista yhä käydään kiistaa, kuului kysymys tulevaisuutta koskevien kontingenttien väitteiden (esim. huomista meritaistelua koskevan lauseen) mielekkyydestä.

Aristoteles muotoili loogisiin teoksiinsa kuuluvassa Toisessa analytiikassa aksiomaattisen tieteenihanteen. Sen mukaan kullakin tieteenalalla tieto voidaan ilmaista järjestelmänä, jossa peruslauseista eli aksioomista johdetaan loogisesti eli deduktiivisesti teoreemat. Klassinen sovellutus tälle idealle matematiikan alalla oli Eukleideen teoksessaan Stoikheia (”Alkeet”) n. 300 eaa. julkaisema aksiomaattinen geometria.


Megaralaiset ja stoalaiset

Monilta osin antiikin logiikan kohotti huippuunsa stoalainen logiikka, jota pikemminkin pitäisi nimittää megaralais-stoalaiseksi, koska stoalaiset lainasivat olennaisen osan logiikastaan heitä vanhemmalta filosofiselta koulukunnalta, joka oli Aristoteleen aikalainen ja kilpailija. Megaran koulukunnan perusti Sokrateen oppilas Eukleides Megaralainen (n. 450 – n. 380 eaa.). Sen filosofeista Eubulides Miletoslainen (n. 300 eaa.) keksi kuuluisia paradokseja, joista tunnetuin käsittelee valehtelijaa. Kun mies sanoo ’minä valehtelen’, puhuuko hän totta vai valhetta?

Megaralaiseen kouluun kuuluneet Diodoros Kronos (k. 296 eaa.) ja hänen oppilaansa Filon asettuivat vastakkaisille kannoille kysymyksessä, joka näyttää olleen megaralaisten ja stoalaisten loputtomien kiistojen kohteena. Nykyisillä termeillä ilmaistuna se liittyi implikaation totuustaulukkoon, ts. kysymykseen siitä, mikä totuusarvo on annettava lauseelle ’jos A, niin B’ kaikissa mahdollisten totuusarvojen yhdistelmissä, joita lauseille A ja B voidaan antaa. Filonin käsitys vastaa nykyisen lauselogiikan materiaalista implikaatiota: yhdistetty propositio ’jos A, niin B’ on epätosi vain silloin kun sen yhdysosista ensimmäinen ’A’ on tosi ja toinen ’B’ epätosi, kun taas kaikissa muissa tapauksissa se on tosi (ks. Formaali logiikka).

Diodoroksen kanta ei ole yhtä selvä. Sextus Empiricuksen mukaan hän väitti, että implikaatio on tosi, jos sillä ei ole koskaan ollut eikä voi olla totta lähtökohtaa ja epätotta seurausta. Tämä näyttää tarkoittavan, että Diodoroksella oli mielessä lauseet, joiden totuusarvo oli ajallisesti muuttuvainen, ja että implikaatio on pätevä Diodoroksen antamassa merkityksessä, kun se on pätevä kaikissa mahdollisissa tapauksissa Filonin käsityksen mukaan. Myös sellaisia tulkintoja esitettiin, joissa implikaatio ilmaisee jonkinlaista välttämätöntä yhteyttä ehdon ja johtopäätöksen välillä.

Stoalaisten omintakeisin ja eniten herätteitä antanut loogikko oli Khrysippos (281–205 eaa.), jonka maine antiikin maailmassa oli Aristoteleen vertainen, joskus jopa suurempi. Voimme pääasiallisesti myöhempien filosofien lainauksista ja usein vieroksuvista selityksistä päätellä, että stoalaisten logiikka oli varsin kehittynyttä ja formalisoitua. Stoalaiset loivat lause- eli propositiologiikan, siinä missä Aristoteleen syllogistiikka käsitteli ominaisuuksia (luokkia). Stoalaiset käyttivät variaabeleita eli muuttujia, joiden arvot olivat väitelauseita eli propositioita, kun taas Aristoteles käytti nimiä tai attribuutteja ilmaisevia variaabeleita. Näin stoalaisia voidaan pitää modernin lauselogiikan edelläkävijöinä, kun taas Aristoteles ennakoi predikaattilogiikkaa.

Erityistä huomiota ansaitsee stoalaisten semantiikka, jolla on tärkeitä yhtäläisyyksiä Fregen käsitysten kanssa (ks. alla). Stoalaiset erottivat toisistaan kolme kieleen liittyvää peruselementtiä, joista kaksi oli aineellisia: kirjoitettu tai puhuttu merkki, esim. nimi ’Sokrates’, ja tämän merkin tarkoittama kohde, tässä tapauksessa yksilö Sokrates, ja yksi aineeton: merkin merkitys (kr. lekton), joka oli erotettava sekä kysymyksessä olevasta asiasta että sen merkkiin kenties liittyvästä mielteestä.

Lektonit, jotka on luokiteltu yksityiskohtaisesti, ovat joko vaillinaisia tai täydellisiä. Vaillinaisiin kuuluvat eris- ja yleisnimet sekä verbit, jälkimmäisiä ovat kokonaiset lauseet, siis myös kysymykset, käskyt, toivomukset, pyynnöt ym. Logiikkaa kiinnostavat ennen kaikkea sellaiset täydelliset lauseet joita voidaan sanoa tosiksi tai epätosiksi. Näitä stoalaiset (toisin kuin Aristoteles) tarkoittivat termillä axiomata.

Erityisen tarkasti stoalaisten logiikka käsittelee kieltoa eli negaatiota vaatimalla, että lauseen negaatio on ilmaistava asettamalla sen eteen kieltosana, joka selvästi osoittaa kiellon liittyvän tiettyyn lausekokonaisuuteen. Stoalaisten käyttämä disjunktio – vastine luonnollisen kielen sanalle ’tai’ – oli eksklusiivinen, jolloin disjunktiivinen propositio ’joko p tai q’ on tosi vain silloin kun toinen lauseista p tai q oli tosi ja toinen epätosi. He tunsivat kuitenkin myös inklusiivisen disjunktion, joka on tosi silloinkin kun molemmat p ja q ovat tosia.

Aristoteleen syllogistiikan tavoin stoalaiset esittivät propositiologiikkansa systemaattisena teoriana. Sen elementtejä eivät ole lauseet vaan lausesarjat, joita edustavat pätevät päätelmät. Hyväksytyt päätelmäkaavat koostuvat viidestä peruskaavasta, ja kaikista muista, jotka voidaan palauttaa niihin tarkoin määriteltyjen sääntöjen avulla. Khrysippos ilmaisee nämä viisi päättelyn peruskaavaa seuraavasti:

1) Jos ensimmäinen, silloin toinen, mutta ensimmäinen, siis toinen;
2) jos ensimmäinen, silloin toinen, mutta ei toinen, siis ei ensimmäinenkään;
3) ei samalla kertaa ensimmäinen ja toinen, mutta ensimmäinen, siis ei toinen;
4) joko ensimmäinen tai toinen, mutta ensimmäinen, siis ei toinen; ja
5) joko ensimmäinen tai toinen, mutta ei toinen, siis ensimmäinen.

Kaavat 1) ja 2) tunnetaan latinankielisillä nimillä modus (ponendo) ponens ja modus (tollendo) tollens.


Antiikin loppuvaiheet

Khrysippoksen jälkeen antiikin logiikassa ei esiinny yhtään nimeä, joka olisi rinnastettavissa häneen tai Aristoteleeseen. Aikakaudelle olivat tunnusomaisia käsikirjat ja selitysteokset. Merkittäviä logiikkaa käsitteleviä teoksia laativat lääkäri Galenos (n. 130–200), Apuleius (100-luku), Porfyrios (200-luku) ja Boëthius (n. 480–524). Parhaita Aristoteleen kommentaattoreita olivat peripateettisen koulukunnan filosofi Aleksanteri Afrodisiaslainen (200-luku), Johannes Philoponos (n. 490–566) sekä Simplicius (500-luku).


Keskiaika

Keskiajan logiikan yleispiirteisiin kuuluvat riippuvuus antiikin perinteestä, latinalainen kieliasu sekä teologisten ja metafyysisten kiistojen vaikutus logiikan esitykseen ja kehitykseen. Varsinainen skolastinen logiikka alkoi kehkeytyä 1100-luvulla, saavutti kypsyytensä 1300- ja 1400-luvulla ja rappeutui nopeasti 1500–1700-luvuilla.


Ars vetus

Varhaisen keskiajan tärkeimmät logiikan lähteet olivat Aristoteleen Kategoriat ja Tulkinnasta, Ciceron Topiikka, Boëthiuksen teokset sekä Porfyrioksen Isagoge (”Johdanto”), joka oli tarkoitettu johdannoksi aristoteeliseen kategoriaoppiin. Sen jälkeen kun länsimaissa oli 1100-luvun loppupuolella saatu käännöksinä käyttöön Aristoteleen koko tuotanto, logiikasta alettiin käyttää nimitystä ars nova, kun taas ars vetus tarkoitti varhaisvaihetta, jolloin oli tunnettu vain osa mestarin tuotannosta.

Varhaisvaiheen hallitsevin hahmo oli ranskalainen Pierre Abélard (Petrus Abaelard, 1079–1142). Hänen pääteoksensa logiikan alalta on – vasta 1956 täydellisesti julkaistu – Dialectica. Se seurailee tarkoin Boëthiuksen ja Apuleiuksen viitoittamaa uraa ja merkitsee suurelta osaltaan vain Boëthiuksen välittämien tietojen systematisointia. Tässä ja muissa teoksissaan Abélard pohti mm. olla-verbin (copula) luonnetta, lauselogiikkaa ja modaalilogiikkaa. Abélard antoi myös vaikutteita skolastisen logiikan kahden erityisen opin, suppositioteorian ja konsekvenssiteorian, kehittymiseen. Hänen oppilaansa Johannes Salisburylainen (n. 1115–1180) antoi teoksessaan Metalogicon paljon tietoja aikakauden loogikkojen vilkkaasta toiminnasta.

Jo 1100-luvulla kohosi esiin keskiajan suuri filosofinen kiista yleiskäsitteiden eli universaalien (kuten ihminen, punaisuus) olemassaolosta. Realistien mukaan universaalit ovat todella olemassa olevia: Platonin seuraajille ne ovat itsenäisiä ideaalisia olioita (ante rem - ’ennen olioita’), aristoteelikoille taas yksilöihin liittyviä muotoja (in rebus - ’olioissa’). Nominalistien mukaan yleiskäsitteet ovat pelkkiä puhuttuja tai kirjoitettuja sanoja (flatus voci - ’äänen henkäyksiä’), kun taas konseptualistien mukaan ne ovat ihmismielessä (in intellectu).


Ars nova

Ars nova-vaiheen voidaan katsoa alkavan 1100-luvun puolivälistä. Aristoteleen koko tuotannon omaksumista helpotti suuresti arabien vaikutus. Nämä olivat jo kauan ennen skolastikkoja syyrialaisten munkkien välityksellä oppineet tuntemaan koko Organonin. Arabit pitivät filosofeista suurimpana Aristotelesta, asettivat toiselle tilalle al-Farabin (k. 950), joka toi aristoteelisen logiikan islamin kulttuuriin, ja kolmannelle Ibn Sinan eli Avicennan (980–1037). Viimeksi mainitun merkittävästä logiikan tutkimuksesta tuli skolastikkojen käsiin kuitenkin vain muutamia katkelmia 1100-luvun lopulta lähtien. Arabialaisista filosofeista heihin vaikutti verrattomasti voimakkaimmin Ibn Rusd eli Averroës (1126–1198).

Ars vetuksesta ja ars novasta laadittiin synteesejä 1200-luvun puolimaissa useissa suurissa käsikirjoissa (lat. compendia tai summulae), joita käytettiin logiikan opetuksessa. Tärkeimmät niistä olivat William Shyreswoodin (k. 1249) Introductiones in logicam ja Petrus Hispanuksen (n. 1210–1277) Summulae logicales. Jälkimmäisestä teoksesta – jonka kirjoittajasta tuli erään teorian mukaan myöhemmin paavi Johannes XXI – ilmestyi 166 painettua laitosta 1600-luvulle mennessä.

Shyreswood erotti toisistaan kategoremaattiset ja synkategoremaattiset termit, joista jälkimmäiset vastaavat modernin logiikan loogisia vakioita ’ja’, ’ei’, ’tai’, ’kaikki’, jne. Lauseen looginen muoto riippuu siinä esiintyvistä synkategoremaattisista termeistä.

Hispanusta seuraavat nk. summulistit harrastivat erityisesti teoriaa termien ominaisuuksista (lat. proprietatis terminorum). Näistä ehkä tärkein on suppositio, joka liittyy substantiivien käyttöön kategorisissa lauseissa. Shyreswood otti käyttöön jaon materiaalisiin ja formaalisiin suppositioihin, jolloin termi edellisessä tapauksessa merkitsee itseään (esim. ‘ihminen’ on kolmitavuinen sana), jälkimmäisessä taas jotakin muuta asiaa.

Lukuisat teokset, joiden nimenä keskiajan logiikassa oli sophismata, analysoivat propositioita, joissa esiintyi luonteenomaisia epäselvyyksiä (esim. valehtelijaparadoksi). Toinen tärkeä aihe, jota etenkin skotlantilaissyntyinen Johannes Duns Scotus (n. 1266–1308) ratkaisevasti kehitti, oli obligaation käsite. Se tarkoitti väitteitä, joita jostain syystä haluttiin puolustaa väittelyssä ja joiden seurauksia sen vuoksi täytyi eritellä, jotta olisi voitu todeta, johtivatko ne kenties mahdottomuuksiin. Siten obligationes -tarkasteluja vastaavat useissa tapauksissa nykylogiikan kontrafaktuaaliset konditionaalit.

Skolastiikan ajan aristoteelikot omaksuivat yleensä ns. statistisen modaaliteorian, jonka mukaan välttämättömiä ovat lauseet, jotka ovat aina tosia, ja mahdollisia lauseet, jotka ovat joskus tosia. Ennakoiden Leibnizin ideoita Duns Scotus esitti radikaalisti erilaisen modaaliteorian, jossa jotkin aidot mahdollisuudet voivat jäädä toteutumatta. Scotus erotti myös loogisen ja fysikaalisen välttämättömyyden toisistaan.


Modernistit

1300-luvun skolastisen logiikan suuria nimiä ovat englantilaiset William Occamilainen (n. 1290–1350) ja Walter Burley eli Burleigh (n. 1275 – n. 1345). Tuolta ajalta tunnetaan modernistit (lat. moderni) ja heidän vastustajansa (lat. antiqui), jotka eivät niinkään kiistelleet logiikan sisällöstä kuin sen asemasta tieteenä. Antikvistit pitivät sitä metafysiikan ja teologian palvelijana, modernistit taas itsenäisenä tieteenä. Aikakautta hallitsivat formalistiset ja nominalistiset virtaukset, joissa logiikkaa pidettiin ensisijaisesti kielenkäytön tieteenä.

William Occamilainen on kuuluisa nominalistina, vaikka hänen universaaleja koskeva oppinsa on pikemminkin konseptualismia. Hänen julistamansa periaate, ns. Occamin partaveitsi, suositteli tarpeettomien entiteettien olettamisesta pidättäytymistä. Hän kirjoitti useita logiikan yleisesityksiä, joissa kehitti mm. modaalisten syllogismien teoriaa.

Tämän aikakauden loogikkojen kiinnostavimpiin luomuksiin kuuluu konsekvenssien (lat. consequentiae) eli seuraussuhteiden yleinen teoria, joka lopulta sisälsi suhteellisen vähäisenä osana syllogismien teorian. Tämä tapahtui ensimmäisen kerran täysin selvästi Burleighin teoksessa De puritate artis logicae. Konsekvenssitutkielmat sisältävät nykyaikaisen propositiologiikan peruslait, samoin eräitä predikaattilogiikan lakeja. Niitä ei kuitenkaan ole muotoiltu laeiksi vaan pikemminkin metakielellä päättelysäännöiksi.

Termi konsekvenssi merkitsi keskiajalla sekä ’jos–niin’ muotoisia lauseita että päätelmiä. Tärkein erotus on jako muodollisiin ja materiaalisiin konsekvensseihin. Ranskalainen Jean Buridan (n. 1300 – n. 1360) määritteli muodollisen konsekvenssin siten, että jokainen konsekvenssi, jolla on sama muoto, on pätevä. Tämä käsite vastaa siis sitä, mitä me sanoisimme loogiseksi implikaatioksi tai muodollisesti päteväksi päätelmäksi. Materiaalisessa konsekvenssissa taas lausuma, että johtopäätös ei voi olla epätosi, jos premissi on tosi, perustuu paitsi loogisten vakioiden käyttösääntöihin myös kategoremaattisten termien merkitykseen, kuten sanottaessa: “Jos joku ihminen juoksee, silloin joku eläin juoksee”.

Konsekvenssiteorian luominen todistaa, että propositiologiikka on ensisijainen verrattuna predikaattilogiikkaan (jonka osa on syllogistiikka). Toisin sanoen syllogismi, jota aiemmin oli pidetty pätevän päättelyn perusmuotona, onkin riippuvainen sitä yksinkertaisemmista muodoista, jotka pohjautuvat analysoimattomien propositioiden logiikkaan.


Skolastiikan myöhäisvaiheet

Skolastisen logiikan luova vaihe päättyi 1300-luvun lopulla. Vaikka skolastinen logiikka levisikin laajalle ja pysyi korkealla tasolla yli vuosisadan ajan, se ei tuottanut enää mitään perusluonteisesti uutta. Aikakauden luomuksista mainittakoon Paul Venetsialaisen (Paolo Nicoletti, n. 1372–1429) monumentaalinen Logica magna, joka käsitteli logiikkaa huomattavan huolitellusti.

Skolastista logiikkaa ryhtyivät jyrkästi vastustamaan renessanssin humanistit, jotka eivät ulottaneet antiikin ihailuaan Aristoteleeseen ja tämän logiikkaan vaan arvostelivat sitä kiivaasti. Humanisteja, kuten Lorenzo Vallaa (1407–1457), kiinnosti enemmän Retoriikan puhetaito ja Topiikan dialektinen päättely kuin demonstratiivinen tieteellinen päättely. Aristoteleen Toinen analytiikka -teoksen näkemys tieteen todistavasta menetelmästä – Averroëkselta vaikutteita saaneessa muodossa – sai kuitenkin voimakasta kannatusta 1600-luvulle saakka Padovan yliopistossa, jossa vaikuttaneen ns. Padovan koulun huomattavin metodologi oli Jacopo Zabarella (1532–1583).


Uusi aika

Uuden ajan filosofiassa logiikasta kirjoitettiin ahkerasti, mutta tyypillisesti se jäi tieto-opillisten pohdintojen varjoon, kun suureksi vedenjakajaksi muodostui rationalistien ja empiristien välinen kiista tiedon alkuperästä ja perustelusta. Kuitenkin 1800-luvun puolivälissä alkanut modernin logiikan vaihe sai vaikutteita monilta aikaisemmilta ajattelijoilta.

1500-luvun kuuluisimman teoksen logiikasta kirjoitti ranskalainen Pierre de la Ramée eli Petrus Ramus (1515–1572), jonka 1555 ilmestynyt Dialectique kuului alan ensimmäisiin merkittäviin kansankielisiin julkaisuihin. Ramus yhdisteli teokseensa aineksia retoriikasta ja dialektiikasta. Päätelmien keksiminen oli hänelle tärkeä aihe. Hän esitti myös syllogismin, jonka molemmat premissit ovat singulaarisia. Ramistinen logiikka vaikutti 1600-luvun jälkipuoliskolla myös Turun akatemiassa, jossa merkittävin logiikan opettaja oli Andreas Thuronius (1622–1665).

Teoksessaan Logica Hamburgensis (1638) saksalainen Joachim Jungius (1587–1657) esitti ja analysoi joukon päätelmiä, joita ei voida sovittaa perinteisiin muotoihin. Tästä syystä hän kehitteli relaatioiden logiikan ensimmäisen hahmotelman, jota hänen välittömät seuraajansa eivät kuitenkaan tunteneet tai jonka he hylkäsivät.

Aristotelismin kiivaisiin vastustajiin kuului englantilainen Francis Bacon (1561–1626), joka pyrki teoksessa Novum Organon (1620, ”Uusi väline”) luomaan uuden induktiivisen metodin empiirisille ja kokeellisille tieteille. Vaikka Baconin kuvaus tästä metodista oli puutteellinen ja enemmän sidoksissa Aristoteleen perintöön kuin hän itse oivalsi, hänen induktioteoriallaan on tärkeä merkitys tieteen metodin historiassa.


Port-Royalin logiikka

Logique ou l’Art de penser (”Logiikka eli ajattelun taito”) ilmestyi vuonna 1662, ja sen tekijät olivat ranskalaiset Antoine Arnauld (1612–1694) ja Pierre Nicole (1625–1695). Sitä käytettiin kauan ja laajalti nimellä Port-Royalin logiikka. Jako neljään osaan – käsitteet, arvostelmat, päättely ja metodi – noudattelee Ramusta, mutta kolmen ensimmäisen osan käsittely pohjautuu Aristoteleeseen.

Port-Royalin logiikan luonteenomainen piirre on pyrkimys yhdistää Aristoteleen ja skolastikkojen perinne aikakauden uusiin saavutuksiin. René Descartesin (1596–1650) rationalismin lisäksi se on saanut vaikutteita Blaise Pascalilta (1623–1662), jonka käsitykset määritelmien luonteesta siinä esitetään. Pascal esitti ensimmäisenä selvästi, että kaiken tieteen tuli todistuksissaan lähteä paitsi todistamattomista lauseista myös määrittelemättömistä termeistä eli perustermeistä, kuten niitä Port-Royalin logiikassa nimitettiin.

Pascal rajoittaa matematiikan määritelmät nominaalimääritelmiin, ts. ”nimien määritelmiin”, jotka toimivat pääasiallisesti sovittuina lyhenteinä. Sitä vastoin hän ei vielä tuo esiin mahdollisuutta valita mielivaltaisesti tai kokeilevasti perustermejä ja tieteen aksioomia. Port-Royalin logiikka korostaa, että perustermit ovat tavallisesti riippuvaisia kielen hyväksytystä käyttötavasta ja aksioomat ilmaisevat itsestäänselviä totuuksia.


Leibniz

Nuoruudenteoksessaan Dissertatio de arte combinatoria (1666, ”Tutkielma kombinatorisesta taidosta”) Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) (ks. Leibniz, Gottfried Wilhelm) hahmotteli suunnitelman yleiseksi merkkijärjestelmäksi. Siinä laaditaan aluksi täydellinen luettelo kaikista ideoista, jotka muodostavat ihmistiedon perusaineksen, ja ne merkitään algebran tyyppisillä symboleilla, jolloin saadaan eräänlainen ”ajatusten algebra”. Yhdistettyjä ideoita voidaan tällöin esittää niiden osatekijöitä vastaavia merkkejä yhdistelemällä. Tällaisen lingua characteristica universalis -järjestelmän luominen, johon sysäyksen osaksi antoi espanjalainen Raimundus Lullus (n. 1235–1315), kiehtoi Leibnizia koko hänen elämänsä ajan. Myöhemmin hän suunnitteli lisäksi calculus ratiocinatoria, matematisoidun päättelyn metodia, joka ennakoi meidän loogisia kalkyylejamme.

Syllogismien alalla Leibniz pyrki täydentämään ja järjestämään mahdollisten päättelykaavioiden eli modusten taulukkoa. Aristoteleen neljäntoista ja Theofrastoksen yhdeksäntoista moduksen sijasta hänen onnistui vihdoin sommitella täysin moitteeton 24 moduksen järjestelmä, neljä kuuden moduksen ryhmää, joista neljäs hyväksyttiin samanlaisin perustein kuin kolme muuta.

Calculus ratiocinatorin rakennusyritykset tapahtuivat 1679–1690. Niissä esiintyy eräitä konkreettisia aineksia, jotka olisivat voineet muodostaa logiikan todella nykyaikaisen käsittelyn perustan, etenkin luokkakalkyylin osalta. Leibnizin logiikan luultavasti vakavin rajoitus oli, että hän jatkuvasti piti kiinni Aristoteleelta periytyvästä attributiivisesta proposition käsityksestä, jossa subjektille liitetään predikaatti. Tämän johdosta hän, vaikka tunsikin edellä mainitun Jungiuksen teokset ja ihaili niitä, ei pystynyt kehittämään todellista relaatioiden logiikkaa.

Vaikka Leibniz oli melko varovainen teoksessaan Nouveaux Essais sur l'entendement humain (1705, julkaistu 1765, "Uusia tutkielmia inhimillisestä ymmärryksestä"), hänellä oli taipumusta liioitella vastakohtaisuuden ja samuuden periaatteita, ja ajoittain hän tuntui olevan vakuuttunut, että kaikki välttämättömät totuudet (”järjen totuudet”) piti voida todistaa niiden avulla.

Leibnizilla on myös merkittävä asema Pascalin aloittaman todennäköisyyslaskennan kehittäjänä. Todennäköisyydet liittyvät Leibnizilla modaalilogiikkaan, sillä ne ilmaisevat hänen mukaansa ”mahdollisuuden asteita”.

Leibnizin seuraajista mainittakoon saksalainen Johann Heinrich Lambert (1728–1777), joka myös yritti luoda loogista kalkyyliä ja esitti eräitä relaatioiden logiikan aineksia, ja sveitsiläinen matemaatikko Leonhard Euler (1707–1783), joka Leibnizilta sysäyksen saatuaan loi syllogististen deduktioiden kaaviokuvauksen menetelmän (Eulerin diagrammat).

Italialainen Giovanni Saccheri (1661–1733) yritti turhaan todistaa Eukleideen paralleeliaksioomaa, mikä johti lopulta 1800-luvulla epäeuklidisten geometrioiden syntyyn. Sitä ennen hän kuitenkin julkaisi teoksen Logica demonstrativa, jossa pyrki soveltamaan logiikkaan ankaran geometrista metodia. Tällöin hän korosti erityisesti nimellä consequentia mirabilis (eli Claviuksen lakina) tunnettua sääntöä, jossa propositio p todistetaan osoittamalla, että p on oman negaationsa seuraus.

Immanuel Kant (1724–1804) (ks. Kant, Immanuel) esitti teoksen Puhtaan järjen kritiikki (ks. Kant: Puhtaan järjen kritiikki) toisen painoksen esipuheessa 1787 kuuluisan arvion, jonka mukaan logiikka ei ole ”tähän mennessä [sitten Aristoteleen] voinut ottaa ainuttakaan askelta eteenpäin, ja se siis näyttää olevan kaikestä päätellen loppuunsaatettu ja täydellinen” (Kant 1781/7, B viii). Kantin suorittama jako analyyttisiin ja synteettisiin arvostelmiin on tärkeä myöhemmän filosofisen terminologian kannalta: edelliset perustuvat termien merkityksiin, jälkimmäiset ilmaisevat maailmaa koskevia asiaintiloja (ks. Kant: Analyyttinen–synteettinen-erottelu). Kantin mukaan matematiikka on apriorista (havaintokokemuksesta riippumatonta) mutta kuitenkin synteettistä. Kantin luentoihin perustuva esitys klassisesta logiikasta Logik ilmestyi vuonna 1800.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel (1770–1831) (ks. Hegel, G. W. H.) vastusti logiikan formaalista käsittelyä (ennen kaikkea Leibnizin suunnittelemaa yleistä symbolikieltä) ja yrityksiä loogisen päättelyn mekanisoimiseksi. Hänen omaan idealistiseen metafysiikkaansa liittyvä dialektinen logiikka, joka tarkastelee maailman muuttumisen yleisimpiä lainomaisuuksia, on esitetty laajassa teoksessa Logiikan tiede (Wissenschaft der Logik, 1812–1816) (ks. Hegel: Logiikan tiede). Hegelin dialektiikalla (ks. Hegel dialektiikasta) on myöhemmin ollut tärkeä sija mm. J. V. Snellmanin (ks. Snellman, Johan Vilhelm), Karl Marxin, Friedrich Engelsin ja V. I. Leninin ajattelussa.

Teoksen A System of Logic (1834, ”Logiikan järjestelmä”) kirjoittaja John Stuart Mill (1806–1873) on tunnettu ennen kaikkea induktiivisen logiikan kehittäjänä. Induktiiviset päätelmät yleistävät havaittuja yksittäistapauksia yleisiksi väitteiksi tai ennustavat seuraavia havaintoja, joten ne eivät ole deduktion tapaan loogisesti sitovia. Silti niillä on tärkeä sija tieteessä tiedon laajentamisen kannalta.


Bolzano

Böömiläisen Bernhard Bolzanon (1781–1848) pääteokset ovat monumentaalinen Wissenschaftslehre (1837, ”Tiedeoppi”) ja Paradoxien des Unendlichen (1851, ”Äärettömyyden paradoksit”). Edellinen sisältää joukon omintakeisia ja erittäin nykyaikaisia logiikan kehitelmiä. Kuitenkin vasta Edmund Husserl (1859–1938) osoitti Bolzanon luomusten tärkeyden logiikan historiassa ja tunnusti niiden ansiokkuuden. Bolzano erotti toisistaan lauseet (saks. Sätze) ja lauseet sinänsä (saks. Sätze an sich), joista jälkimmäiset ovat lauseen ilmaisemia objektiivisia sisältöjä tai propositioita.

Bolzano esitti huomionarvoisen määritelmän analyyttisen ja synteettisen arvostelman erosta. Lähtien propositiosta, joka voi olla tosi tai epätosi, hän tutki, millainen on sen totuusarvo, kun jokin sen jäsenistä korvataan kaikilla kysymykseen tulevilla vaihtoehdoilla. Jos kaikki täten saadut muunnokset ovat tosia, proposition sanotaan olevan yleispätevä suhteessa korvattaviin jäseniinsä. Jos ne kaikki ovat epätosia, propositiota sanotaan yleisesti epäpäteväksi suhteessa mainittuihin jäseniinsä. Proposition pätevyysaste (saks. Gültigkeit) suhteessa johonkin jäseneensä määritellään sen osamäärän perusteella, jossa todet muunnokset ovat epätosiin. Tällä käsitteellä on tärkeä asema myös Bolzanon kehittämässä todennäköisyyden teoriassa. Kun jokin propositio on yleisesti joko pätevä tai epäpätevä suhteessa joihinkin jäseniinsä, sitä nimitetään analyyttiseksi, muussa tapauksessa synteettiseksi. Esimerkiksi ’Paheellinen ihminen ei ansaitse kunnioitusta’ on Bolzanon mukaan analyyttinen arvostelma, sillä sen totuusarvo säilyy, kun termin ’ihminen’ paikalle sijoitetaan toisia termejä, kuten ’enkeli’ tai ’olio’.

Bolzanon määritelmä on ilmeisesti aivan liian laaja selvittämään loogisen totuuden ja epätotuuden käsitteitä sanan ahtaassa merkityksessä, joka soveltuu esimerkiksi tautologisen toiston sisältävään lauseeseen ’A, joka on B, on B’. Bolzanon mielestä voitaisiinkin loogisesti analyyttiseksi tai analyyttiseksi sanan ahtaassa merkityksessä nimittää propositiota, joka on analyyttinen suhteessa kaikkiin ekstraloogisiin jäseniinsä (nykyisiä termejä käyttääksemme), jolloin väitteen totuuden selvittämiseksi ei tarvita mitään logiikan ulkopuolista tietoa maailmasta. Tämä on miltei samaa kuin lausuma, jonka mukaan propositio on loogisesti tosi tai epätosi, jos se on tosi tai epätosi siten, että siinä ”oleellisesti” esiintyy ainoastaan logiikan sanaston termejä eikä lainkaan kuvailevia sanoja, kuten kuuluu yhdysvaltalaisen W. V. O. Quinen (ks. Quine, W. V. O) vuonna 1940 esittämä määritelmä. Bolzano esitti myös loogisen seurauksen (saks. Ableitbarkeit) käsitteelle luonnehdinnan, joka vastaa läheisesti puolalaisen Alfred Tarskin 1935 antamaa modernia malliteoreettista määritelmää.


Moderni logiikka

1800-luvun puolivälissä alkoi modernin logiikan kultakausi, jossa logiikka ja matematiikka yhdistettiin kahdella eri tavalla. Ensinnäkin logiikkaa alettiin tutkia matemaattisin menetelmin, jolloin tuloksena oli Boolen looginen algebra. Toisaalta Frege kehitti logiikkaa välineeksi matematiikan perusteiden tutkimisessa. Hänen järjestelmänsä sisäiset ongelmat, joihin liittyivät Georg Cantorin (1845–1918) joukko-opista löytyvät paradoksit, synnyttivät 1900-luvun alussa erinomaisen vilkkaan uuden tutkimusvaiheen logiikassa. Vuoteen 1930 mennessä vakiintui käsitys, että matematiikan filosofiassa on kolme pääsuuntaa: logisismi (Frege ja Russell), formalismi (Hilbert) ja intuitionismi (Brouwer), mutta 1930-luvun uudet yllättävät tulokset (Gödel, Church, Tarski) vaativat näiden suuntausten tarkistamista. Vuosisadan puolivälissä modernin matemaattisen logiikan rinnalle alkoi nousta filosofian piiristä intensionaalisen logiikan järjestelmiä, joiden tutkimusta on vuosisadan lopussa jatkettu myös tietojenkäsittelytieteen ja tekoälyn tutkimuksen piirissä.


Boolen logiikan algebra

Logiikan algebra syntyi, kun vuonna 1847 samanaikaisesti Englannissa ilmestyivät George Boolen (1815–1864) teos The Mathematical Analysis of Logic (“Logiikan matemaattinen analyysi”) ja Augustus De Morganin (1806–1871) Formal Logic (“Formaali logiikka”). Heitä molempia kiinnosti algebra abstraktina matemaattisena teoriana, jota voidaan tulkita eri tavoin. Kaksi mahdollista algebran tulkintaa koskevat luokkia ja relaatioita, ja molemmilla on kiinnostava yhteys logiikan operaatioihin. Kun logiikkaa ryhdyttiin käsittelemään algebran avulla, toteutui lopullisesti tämän tieteen matematisointi, jota jo Leibniz oli ennakoinut ja hahmotellut.

Vaikka De Morgan toi julki uusia ajatuksia, hänen lähtökohtanaan oli useimmiten perinteinen logiikka eli syllogismien teoria. Teos Formal Logic sisältää luokkien algebran aineksia. Ennen kaikkea siinä on muotoiltu summan ja tulon dualiteetin lait

(FG)’ = F’ + G’, (F + G)’ = F’G’.

Ne voidaan siirtää lausekalkyyliin, jos tulo FG tulkitaan konjunktioksi, summa F + G disjunktioksi ja duaalioperaatio F’ negaatioksi. Niitä on myöhemmin nimitetty De Morganin laeiksi.

De Morgan on kuitenkin antanut ratkaisevan sysäyksen ennen kaikkea relaatioiden algebralle; häntä voidaan erässä mielessä pitää sen varsinaisena perustajana. Relaatioiden yleisen ajatuksen esittäminen vuonna 1859 julkaistussa artikkelissa merkitsi mullistavaa kännettä, joka syöksi syllogistiikan valta-asemastaan ja osoitti, että se oli vain paljon laajemman logiikan varsin vähäinen, vaikkakin tärkeä osa.

Menetelmää, jota Boole käytti vuosina 1847 ja 1854 (An Investigation of the Laws of Thought, on which are founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities), ei tarkoin katsottuna voida nimittää luokkien algebraksi, vaan se merkitsee pikemminkin tavallisen lukujen algebran soveltamista luokkien logiikkaan. Hän lähtee algebrasta, jonka muuttujilla x, y, z jne. voi olla vain lukuarvot 0 ja 1, ja tämän binäärisen (nollan ja ykkösen) aritmetiikan aksioomat, laskutoimitukset ja lait sopivasti tulkittuina osoittautuvat samoiksi kuin niiden vastineet luokkien algebrassa. Mainitussa tulkinnassa samaistetaan 1 tarkastelun kohteena olevien yksilöjen muodostaman universumin (engl. universe of discourse, De Morganin termin mukaan) kanssa, 0 vastaa tyhjää luokkaa, ja x on luokka, joka saadaan valitsemalla universumista 1 kaikki oliot, joilla on tietty ominaisuus X. Edelleen xy on luokka, jonka jäsenet ovat samalla kertaa X ja Y; x + y luokka, jonka jäsenet ovat joko X tai Y mutta eivät molempia; x – y on luokka, jonka jäsenet ovat X mutta eivät Y; edelleen 1 – x on luokka, jonka jäsenet eivät ole X. Laki, joka erottaa binaarisen algebran tavallisesta lukujen algebrasta, on idempotenssin laki x2 = x. Laki x(1–x) = 0 ilmaisee loogisesti tulkittuna ristiriidan lakia, ja x + (1–x) = 1 kolmannen poissuljetun lakia.

Koska Boole vaati, että kaavassa x + y muuttujien x:n ja y:n piti olla luokkia, joilla ei ollut mitään yhteisiä elementtejä (tällöin yhteen- ja vähennyslasku olivat tiukasti vastakkaisia toimituksia), hänen ei ollut mahdollista tunnistaa kahta klassista luokkien algebran tärkeätä lakia: x + x = x ja x = x + xy.

Muuan parannus, jonka englantilainen William Stanley Jevons (1835–1882) teki Boolen loogiseen kalkyyliin, oli merkin + tulkitseminen kahden luokan yhdistämiseksi eli unioniksi (ks. Formaali logiikka), siis loogisen summan eksklusiivisen tulkinnan korvaaminen inklusiivisella. Englantilainen John Venn (1834–1923) tunnetaan nykyisin – paitsi frekventistisestä todennäköisyysteoriastaan – pääasiallisesti hänen nimellään kulkevista diagrammeista, jotka merkitsevät Eulerin kaavioiden edelleen kehittämistä.

Logiikan algebran saattoivat päätökseen ja kohottivat huippuunsa kaksi l800-luvun lopulla julkaistua synteesiä: saksalaisen Ernst Schröderin (1841–1902) Vorlesungen über die Algebra der Logik (kolme osaa, 1890–1905, ”Luentoja logiikan algebrasta”) ja englantilaisen Alfred North Whiteheadin (1861–1947) Treatise on Universal Algebra (1898, ”Tutkielma universaalista algebrasta”). Edellinen on merkittävä tekninen kokonaisesitys, jälkimmäinen, paljon filosofisempi teos taas tarkastelee lähinnä algebrallisen kalkyylin ongelmaa yleensä.

Boole oli jo todennut, että variaabelit x, y, . . . voidaan luokkien sijasta tulkita propositioiksi. Lauselogiikka, jonka perusideoita kehittivät Frege ja yhdysvaltalainen Hugh MacColl (1837–1909), ja luokkien logiikka ovat näin rakenteeltaan samankaltaisia – ne molemmat voidaan käsittää tulkinnoiksi yleisestä matemaattisesta teoriasta, ns. Boolen algebrasta, jonka yhdysvaltalainen E. V. Huntingdon (1874–1952) aksiomatisoi vuonna 1904.


Peirce

Yhdysvaltalaisen filosofin Charles Sanders Peircen (1839–1914) monumentaalinen tuotanto käsittelee varsin monia eri aloja. Peircen 1870-luvulla esittämä probabilistinen induktioteoria on tärkeä tieteellisen päättelyn teorian kannalta. Induktion ohella Peirce esitti toisen ”ampliatiivisen” eli sisältöä lisäävän päättelyn muodon, jota hän kutsui abduktioksi. Siinä päättely kulkee taaksepäin vaikutuksista syihin tai yllättävistä havainnoista niitä selittäviin teorioihin. Myös hänen deduktiivisen logiikan tutkimuksensa ovat poikkeuksellisen lukuisia ja monipuolisia. Hän on etenkin merkittävästi täydentänyt ja uudistanut relaatioiden teoriaa (1883), ennakoinut M. H. Shefferin (1882–1964) keksimää mahdollisuutta ilmaista kaikki lausekonnektiivit yhdellä niistä (1880) ja ottanut käyttöön lausekalkyylin ilmausten totuuden arvioimismenetelmän, joka on olennaisesti totuustaulukko (1885), laatinut identiteetin loogisen määritelmän Leibnizin hengessä (1885) sekä määritellyt äärellisen joukon kokonaisuudeksi, jota ei voida kääntäen yksikäsitteisellä vastaavuudella kuvata millekään aidolle osajoukolleen (1881).

Peircen 1880-luvulla esittämät ”eksistentiaaliset graafit” sisältävät itsenäisesti keksityn kvanttorien teorian, joka kykenee ilmaisemaan kvanttorien välisiä riippuvuuksia ja riippumattomuuksia. Tässä se poikkeaa Fregen samoihin aikoihin esittämästä kvanttorien teoriasta, joka tuli vallitsevaksi logiikan tutkimuksessa. Tässä mielessä Peircen logiikka ennakoi 1990-luvulla kehitettyä IF-logiikkaa, jossa voidaan ilmaista joustavasti kvanttorien välisiä riippuvuussuhteita (ks. alla ja Formaali logiikka).

Peirce on myös esittänyt ajatuksia, joiden perusteella häntä voidaan aritmetiikan perusteiden kysymyksessä pitää saksalaisen Richard Dedekindin (1831–1916) ja italialaisen Giuseppe Peanon (1858–1932) välittömänä edeltäjänä. Edelleen Peirce on Vennin kanssa ensimmäisenä nimenomaisesti ottanut käyttöön nykyisin voimassa olevan periaatteen, jonka mukaan kategoristen syllogismien yleiset lauseet eivät edellytä kohteensa olemassaoloa – toisin kuin perinteisessä aristoteelisessa logiikassa oli oletettu (ks. yllä).


Frege

Saksalaista Gottlob Fregeä (1848–1925), jonka tutkimuksiin niiden ilmestyessä kiinnitettiin tuskin lainkaan huomiota, pidetään nykyisin varsin yleisesti aikakautensa suurimpana loogikkona. Hänen toimestaan logiikan algebra muuttui formaalisten kielten tutkimukseksi, jota ryhdyttiin kutsumaan ”logistiikaksi”. Edellinen oli pyrkinyt ensisijaisesti matematisoimaan logiikkaa, tekemään siitä erityisen matemaattisen teorian, kun taas logistiikka halusi ennen kaikkea olla matematiikan logiikkaa, siis logisoida matematiikan.

Frege mullisti logiikan tyydyttääkseen matematiikan tarpeet. Mikäli matematiikassa haluttiin kehittää täydellinen tieteellinen metodi, täytyi supistaa todistamattomien peruslauseiden luku pienimpään mahdolliseen, ilmaista ne selvästi sekä myös eritellä käytetyt päättelymenetelmät. Jotta loogisessa päättelyssä vältyttäisiin turvautumasta intuitioon, joka merkitsee sekä tarkkuuden puutetta että virheiden lähdettä, on tärkeää esittää matemaattinen päättely kielellä, joka on yhtä täsmällinen kuin matematiikka itse, ts. luoda ideografinen kirjoitus, jolla voidaan adekvaatisti ilmaista sekä vaivattomasti ja varmasti tarkistaa deduktiivisen päättelyn peräkkäiset asteet. Tämän ohjelman mukaisesti Frege arvosteli ankarasti ”psykologismia”, joka yrittää palauttaa logiikan tutkimuksen empiiriseen psykologiaan.

Tähän päämäärään Frege tähtää luomalla teoksessaan Begriffsschrift (1879, ”Käsitekirjoitus”) erittäin pitkälle kehitetyn loogisen kirjoitusjärjestelmän, jolla lauseiden ja todistusten looginen rakenne voitiin esittää paljon selvemmin kuin ennen. Kätevyyssyistä sen monimutkaiset merkintätavat tosin myöhemmin syrjäytti Peanon vastaava järjestelmä. Begriffsschrift sisältää lausekalkyylin ja identiteetillä varustetun predikaattikalkyylin ensimmäisen systemaattisen aksiomaattisen esityksen, jossa otetaan käyttöön kvanttorit sekä symbolit monipaikkaisille relaatioille.

Matematiikan palauttamista logiikkaan – logisismiksi nimitetyn koulukunnan suurta tavoitetta – Frege kuvasi ja puolusti teoksessaan Die Grundlagen der Arithmetik (1884, ”Aritmetiikan perusteet”) ja systemaattisesti toteutti teoksessa Grundgesetze der Arithmetik (kaksi osaa, 1893, 1903, ”Aritmetiikan peruslait”). Edellisessä hän osoitti, että kardinaalilukua on pidettävä ominaisuuksien tai käsitteiden eikä esineiden ominaisuutena, kuten usein on uskottu. Frege arvosteli vakuuttavasti Millin teesiä, jonka mukaan aritmetiikan totuudet ovat empiirisiä yleistyksiä. Samalla hän hylkäsi psykologistisen käsityksen logiikasta ja matematiikasta: logiikka ei tutki ihmisten tosiasiallista ajattelua vaan objektiivisia propositioita; luvut ovat ajattomasti olemassaolevia olioita, jotka eivät ole ihmisten mielessä. Tätä Fregen näkemystä kutsutaan logiikan ja matematiikan filosofiassa realismiksi.

Samoin kuin saksalainen Georg Cantor (1845–1918) joukko-opissa, Frege nimittää yhtä monilukuisiksi (saks. gleichzahlig) kahta sellaista käsitettä, joiden sisältämät luokat voidaan liittää toisiinsa kääntäen yksikäsitteisellä vastaavuudella. Täten hän määrittelee käsitteeseen F kuuluvan luvun käsitteen ‘F:n kanssa yhtä monilukuinen’ alaksi, siis sellaisten käsitteiden luokaksi, jotka ovat yhtä monilukuisia käsitteen F kanssa. Sitten hän määrittelee, että n on luku, jos ja vain jos on olemassa käsite F siten, että n kuuluu F:ään. Luonnolliset luvut Frege määrittelee seuraavasti: 0 on luku, joka kuuluu käsitteeseen ‘ei-identtinen itsensä kanssa’, 1 on luku, joka kuuluu käsitteeseen ‘identtinen 0:n kanssa’, 2 on luku, joka kuuluu käsitteeseen ‘identtinen 0:n tai 1:n kanssa’ jne.

Edelleen Frege määritteli käsitteen ‘n seuraa välittömästi m:ää luonnollisten lukujen järjestyksessä’ sekä johti aritmetiikan peruslauseet näistä määritelmistä ja eräistä yksinkertaisista loogisista periaatteista. Systemaattinen esitys sisältyy Grundgesetze-teokseen.

Frege oli jo saattanut mainitun teoksen toisen osan painoon, kun hän vuonna 1902 sai Bertrand Russellilta kirjeen, jossa tämä paljasti ristiriidan, joka liittyy kaikkien sellaisten luokkien luokkaan, jotka eivät ole itsensä elementtejä. Tätä paradoksia kutsutaan Russellin antinomiaksi. Frege näyttää tulkinneen tämän antinomian löytymisen tuhoisaksi koko sille järjestelmälle, jonka hän oli vaivalloisesti rakentanut. Vaikka hän itse ehdotti parannuskeinon, jolla ristiriita vältettäisiin, pakko turvautua tällaiseen toimenpiteeseen sai hänet epäilemään aritmetiikan loogisten perusteiden absoluuttista arvoa. Fregen oma ratkaisuyritys on myöhemmin osoitettu riittämättömäksi.

Teoksessaan Grundgesetze Frege nojautui erotteluun, jonka hän oli tehnyt kirjoituksessaan ”Mielestä ja merkityksestä” (Über Sinn und Bedeutung, 1892) ilmaisun ’mielen’ (saks. Sinn) ja ’merkityksen’ (saks. Bedeutung) välillä. Esimerkiksi nimillä ’Aamutähti’ ja ’Iltatähti’ on eri mieli mutta sama merkitys, koska ne molemmat tarkoittavat kiertotähteä Venus. Siten merkitys on termin viittauskohde eli referenssi, kun taas mieli ilmaisee tapaa, jolla termi viittaa kohteeseensa. Tämän erottelun, joka on täysin luonnollinen nimien tapauksessa, Frege ulottaa myös lauseisiin: lauseen mieli on sen ilmaisema propositio tai ajatus (objektiivisessa merkityksessä, ei subjektiivisena mielteenä), merkitys taas sen totuusarvo. Lauseita pidetään siis eräänlaisina niminä, jolloin jokainen tosi lause on totuuden nimi ja jokainen epätosi lause epätotuuden nimi. Alonzo Churchin (1903–1995) ja Rudolf Carnapin (1891–1970) 1930- ja 1940-luvulla esittämät semanttiset teoriat pohjautuvat Fregen katsomuksiin eräissä keskeisissä kohdissa.


Peano

Italialaisen Giuseppe Peanon (1858–1932) merkitys perustuu pääasiallisesti vaikutukseen, joka hänellä oli Russelliin, ja hänen kehittämäänsä loogisten merkkien järjestelmään, joka oli käyttökelpoisempi kuin edeltäjänsä (etenkin Fregen luoma). Russell omaksui tämän järjestelmän, ja siitä on monia jälkiä nykyisin käytetyssä loogisessa merkinnässä.

Peanon ideografia on esitetty viisiosaisessa teoksessa Formulaire de mathématiques (1895–1908, ”Matematiikan kaavat”). Hän ja hänen avustajansa eivät pyrkineet varsinaisiin filosofisiin päämääriin eivätkä palauttamaan matematiikkaa logiikkaan. Peano käytti merkkiä ∈ osoittamaan olion kuulumista johonkin luokkaan ja erotti tarkoin toisistaan tämän suhteen ja luokan sisältymisen osajoukkona toiseen luokkaan (merkintä ⊆). Hän pohjasi koko aritmetiikan kolmeen peruskäsitteeseen: ’luku’, ’nolla’ ja ’seuraaja’, sekä viiteen aksioomaan. Nämä Peanon aksioomat voidaan normaalikielellä lausua seuraavasti: 1) 0 on luku, 2) jokaisen luvun seuraaja on luku, 3) jos jokin luokka sisältää 0:n ja aina sisältäessään jonkin luvun sisältää myös sen seuraajan, silloin se sisältää kaikki luvut, 4) kahdella eri luvulla ei voi olla samaa seuraajaa ja 5) 0 ei ole minkään luvun seuraaja. Nämä lauseet esiintyvät jo Dedekindin kirjoituksessa Was sind und was sollen die Zahlen? (1888, ”Mitä luvut ovat ja mihin ne pystyvät?”), jossa niitä kuitenkaan ei ole esitetty aksioomina.


Russell

Englantilainen Bertrand Russell (1872–1970) omaksui aluksi Fregestä riippumatta – ja myöhemmin Fregeä tukien – ajatuksen, jonka mukaan matematiikka on logiikan haara ja kaikki aritmetiikan käsitteet voidaan täysin määritellä logiikan käsitteiden avulla, samoin kuin kaikki aritmetiikan teoreemat todistaa pelkästään määritelmistä ja logiikan aksioomista lähtien. Aritmetiikan totuudet ovat siten analyyttisiä ja apriorisia (kokemuksesta riippumattomia), mikä Russellin mukaan kumoaa Kantin väitteen matematiikan synteettis-apriorisesta luonteesta. (Frege oli tässä samaa mieltä aritmetiikan osalta, mutta piti geometriaa synteettisenä.) Teoksensa Principles of Mathematics (1903, ”Matematiikan periaatteet”) alussa Russell esitti määritelmän:
”Puhtaan matematiikan muodostaa kaikkien niiden propositioiden luokka, jotka ovat tyyppiä ’p implikoi q:n’. Tällöin p ja q ovat propositioita, jotka sisältävät yhden tai useampia muuttujia, samat molemmissa, eivätkä p ja q sisällä mitään muita kuin loogisia vakioita. Kaikki loogiset vakiot taas ovat käsitteitä, jotka ovat määriteltävissä seuraavien käsitteiden avulla: implikaatio, olion suhde luokkaan, jonka elementti se on, käsite ’sellainen kuin’, relaation käsite ja eräät muut käsitteet, jotka voivat liittyä yllä olevan muotoisten propositioiden yleiseen käsitteeseen. Edellä mainittujen lisäksi matematiikka käyttää erästä käsitettä, joka ei kuulu osana sen tutkimiin propositioihin, nimittäin totuuden käsitettä.” (Russell 1938, 2.)
Tätä määritelmää pyritään perustelemaan tarkastelemalla yksityiskohtaisesti puhtaan matematiikan päähaaroja ja palauttamalla niissä esiintyvät käsitteet puhtaasti loogisiin käsitteisiin. Russell ei vielä tällöin käytä logiikan symbolimerkintöjä, mutta päästäkseen kolmiosaisen Principia mathematican (1910–13) täsmällisyyteen ja järjestelmällisyyteen hän ottaa käyttöön erittäin eksaktin ja mutkikkaan loogisen kielen, johon sysäyksen antoivat Frege ja Peano.

Teoksessa Principia mathematica, jonka Russell kirjoitti yhteistyössä Alfred North Whiteheadin (1861–1947) kanssa, tekijät pyrkivät paitsi Peanon tavoin ilmaisemaan matematiikan symbolikirjoituksella ja aksiomatisoimaan sen, myös tulkitsemaan sen peruskäsitteet uudelleen logiikan kielellä. Näin toteutettiin täydelleen Fregen logisismin ohjelma. Fregen systeemin sisältämältä ristiriidalta vältyttiin turvautumalla tyyppiteoriaan, jonka Russell oli esittänyt 1908 ja jossa hän julisti mielettömiksi tähän ristiriitaan johtavat ilmaukset.

Yksinkertainen tyyppiteoria jakaa formaaliset ilmaukset pohjatason ilmauksiin (yksilöt), toisen tason ilmauksiin (yksilöistä koostuvat luokat), kolmannen tason ilmauksiin (luokat joiden elementtejä ovat luokat) jne. Sen mukaan ilmauksessa A ∈ B voi B olla mitä tasoa n tahansa, joka on pohjatasoa korkeampi, ja A:n täytyy tällöin kuulua tasoon n–1. Principia mathematicassa sovelletaan kuitenkin monimutkaistettua tyyppiteoriaa, jonka avulla voidaan välttää paitsi Russellin antinomian tyyppiset loogiset paradoksit, myös ns. semanttiset antinomiat, jollaisia ovat esittäneet mm. Kurt Grelling ja Jules Richard. Monimutkaistettu teoria on paljon vaikeampi käsitellä kuin yksinkertainen, ja se pakottaa Whiteheadin ja Russellin turvautumaan melkoisen epätyydyttävään keinoon: palautettavuuden aksiomiin, jota vastaan on esitetty monia kriittisiä huomautuksia.

Monimutkaistetusta tyyppiteoriasta luovuttiin, kun englantilainen Frank Plumpton Ramsey (1903–1930) osoitti vuonna 1926, että yksinkertainen teoria riitti eliminoimaan loogiset ristiriidat ja etteivät semanttiset ristiriidat (kuten valehtelijaparadoksi) kuuluneet matematiikan ratkaistaviin ongelmiin.

Logisismin ohjelma onnistui palauttamaan klassisen matematiikan logiikkaan (tyyppiteoriaan), mutta ongelmallisen palautettavuuden aksiooman lisäksi Russell joutui olettamaan äärettömyysaksiooman, jonka mukaan on olemassa äärettömiä joukkoja. Tämä periaate ei enää ole puhtaasti looginen.

Tyyppiteoria voidaan korvata joukko-opilla, mutta myös tästä Cantorin luomasta matemaattisesta teoriasta paljastui Russellin antinomiaa muistuttavia paradokseja. Esimerkiksi oletus, että kaikki joukot yhdessä muodostavat joukon, johtaa ristiriitaan. Näiden välttämiseksi joukko-opin aksiomatisoivat vuodesta 1908 alkaen Ernst Zermelo (1871–1953), saksalais-israelilainen Abraham Fraenkel (1891–1966), norjalainen Thoralf Skolem (1887–1963) ja unkarilais-yhdysvaltalainen John von Neumann (1903–1957). Logisistinen teesi esitetäänkin nykyisin usein muodossa: matematiikka on palautettavissa joukko-oppiin.

Russellin tärkeä luomus on edelleen määrättyjen kuvausten teoria eli ’se-ja-se’-tyyppisten ilmausten (esim. ’Ranskan tasavallan toinen presidentti’) looginen analyysi. Russell todisti, että tämäntyyppiset ilmaukset voidaan aina eliminoida kontekstuaalisesti, ts. jokainen mielekäs lause, jossa ne esiintyvät, on mahdollista muuntaa lauseeksi, joissa niitä ei ole. Niinpä lause ’Romaanin Waverley tekijä on skotlantilainen’ saa russellilaisena parafraasina muodon: ’On olemassa mies, yksi ainoa mies, joka on kirjoittanut romaanin Waverley, ja jokainen mies joka on kirjoittanut Waverleyn, on skotlantilainen’. Menetelmää, jolla Russell eliminoi määrätyt kuvaukset, on edelleen kehittänyt yhdysvaltalainen Willard Van Orman Quine (1908–2000) (ks. Quine, W. V. O.).


Hilbertin todistusteoria

Saksalainen David Hilbert (1862–1943) on ennen kaikkea matemaatikko, joka kuuluu tämän tieteen ratkaiseviin edistäjiin. Teoksessaan Grundlagen der Geometrie (1899, ”Geometrian perusteet”) hän aksiomatisoi geometrian paljon täsmällisemmin kuin Eukleides aikoinaan. Hänen matematiikan filosofiansa, joka tunnetaan formalismin nimellä, on aivan toista perua kuin Russellin vastaava oppi. Keskiajan universaaleja koskevan kiistan termejä käyttäen Frege ja Russell olivat realisteja, kun taas Hilbert on nominalisti. Hilbertin ajatukset on lopullisessa muodossaan esitetty kaksiosaisessa teoksessa Grundlagen der Mathematik (1934 ja 1939, ”Matematiikan perusteet”), jonka hän laati yhdessä saksalais-sveitsiläisen Paul Bernaysin (1888–1977) kanssa.

Hilbertin peruskatsomuksena on vakaumus, että symbolit ja niillä suoritetut laskutoimitukset muodostavat matematiikan varsinaisen tutkimuskohteen. Antinomioiden välttämiseksi matematiikassa tulee suorittaa matemaattisten teorioiden formalisointi ja lisäksi täytyy todistaa, että näiden teorioiden aksioomista ei voida johtaa ristiriitoja. Tähän Hilbertille keskeiseen kysymykseen samastuu jossakin määrin ”matematiikan perusteiden” ongelma: jokaisessa matematiikan haarassa on todistettava, että niissä käytetyt todistusmenetelmät eivät koskaan anna tulokseksi samalla kertaa jotakin propositiota ja sen negaatiota. Tämän ohjelman toteuttamiseksi Hilbert kehitti ”todistusteoriansa”. Sen periaate on seuraava: jokainen matemaattinen teoria voidaan ilmaista tiukan formalisoituna järjestelmänä eli joukkona kaavoja, jotka eroavat tavallisista matemaattisista kaavoista vain sikäli, että ne totunnaisten symbolien lisäksi sisältävät joitakin loogisia symboleja. Todistus koostuu sarjasta kaavoja, joista jokainen joko on aksiooma tai voidaan johtaa edeltäneistä kaavoista ennakolta ilmoitettujen päättelysääntojen nojalla. Tästä syystä myös todistuksia itseään on mahdollista tutkia matemaattisesti: näin formalisoituun tavalliseen matematiikkaan liittyy metamatematiikka, joka tarkastelee edellisen toimenpiteitä yksinomaan kirjoitetuilla kaavoilla suoritettuina operaatioina. Toisin kuin tavallisessa matematiikassa, metamatematiikan ei itse pidä käyttää muita kuin sellaisia todistusmenetelmiä, jotka ovat luonteeltaan tiukan finiittisiä, ts. eivät edellytä äärettömyyttä koskevia pulmallisia oletuksia.

Eräiden alkeissysteemien osalta ristiriidattomuus on voitu todistaa ilman mainittavia vaikeuksia. Yhdysvaltalainen Emil L. Post (1897–1954) esitti vuonna 1921 ensimmäisen merkittävän metateoreettisen tutkimuksen formaalisena systeeminä käsitellystä kaksiarvoisesta lausekalkyylista ristiriidattomuus- ja täydellisyystodistuksineen. Korkeamman asteen järjestelmissä, kuten luonnollisten lukujen teorian tapauksessa, tämä todistus kuitenkin onnistuu vain mikäli luovutaan tiukan finiittisistä menetelmistä. Tämän osoitti vuonna 1931 Kurt Gödel. Niinpä saksalainen Gerhard K. E. Gentzen (1909–1945) todisti vuonna 1936 aritmetiikan ristiriidattomuuden käyttämällä ”transfiniittistä induktiota” äärettömään ordinaalilukuun ε0 saakka. Tällaista todistusta voidaan kuitenkin pitää ”konstruktiivisena”. Hilbertin ohjelma mm. Georg Kreiselin (1923–) edustamassa muunnetussa muodossa – konstruktiivisten ristiriidattomuustodistusten teoriana – on lähentynyt intuitionistisen koulukunnan ajatuksia (ks. alla).

Todistusteorian tärkeisiin jatkajiin kuuluu nuorena kuollut ranskalainen loogikko Jacques Herbrand (1908–1931), joka muotoili predikaattikalkyylin deduktioteoreeman vuonna 1930 ja vaikutti rekursiivisen funktion käsitteen kehittämiseen. Herbrandin ”resoluutiomenetelmä” on yhä keskeisen tärkeä metodi, kun logiikan teoreemoille etsitään tehokkaita todistuksia tietokoneella.

Gentzen pyrki konstruoimaan formalismin, joka mahdollisimman tarkasti kuvastaa matemaattisissa todistuksissa todella käytettyjä loogisia päättelyjä. Gentzenin kehittämät luonnollisen päättelyn ja sekvenssikalkyylin menetelmät eroavat perusluonteisesti logiikan aksiomaattisesta käsittelytavasta, sillä niissä aksioomat on kokonaan korvattu päättelysäännöillä. Suomalainen Oiva Ketonen (1913–2000) opiskeli Gentzenin johdolla Göttingenissä vuonna 1939 ja laati todistusteoriasta väitöskirjan Helsingissä vuonna 1944. Alankomaalaisen E. W. Bethin (1908–1964) semanttisten taulukoiden (1955) välityksellä Gentzenin luonnollinen päättely on inspiroinut erityisen hienon ja tehokkaan todistusmenetelmän.


Intuitionismi

Intuitionistisen koulukunnan perusti alankomaalainen Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881–1966), mutta sen suoranaisia edeltäjiä olivat eräät matemaatikot, mm. ranskalainen Henri Poincaré (1854–1912) ja saksalainen Leopold Kronecker (1823–1891). Matematiikan perusteista intuitionistit esittävät joukon käsityksiä, jotka ovat formalistien ajatusten täydellisiä vastakohtia: keskiajan termein formalistit ovat nominalisteja, kun taas intuitionistit ovat konseptualisteja, joiden mukaan matemaattiset oliot konsturoidaan ihmismielessä. Heidän mielestään matematiikka on ennen kaikkea henkinen luomus, joka perustuu intuitioon, etenkin intuitioon luonnollisista luvuista. Päinvastoin kuin formalismissa väitetään, matematiikka on pohjimmaltaan riippumaton kaikesta kielestä, luonnollisesta ja symbolisesta, eikä se voi käyttää kieltä muuten kuin kommunikoinnin välineenä. Matemaattinen eksistenssi ei ole samaa kuin looginen ristiriidattomuus. Matemaattisen käsitteen voidaan katsoa olevan olemassa vain siinä tapauksessa, että on keinot sen konstruoimiseen matematiikan erityismenetelmillä.

Intuitionistit torjuvat jyrkästi äärettömyyden käytön matematiikassa ja pitävät mielettöminä sellaisia ilmauksia kuin ’kaikkien 0:n ja 1:n välisten reaalilukujen joukko’. Heidän mielestään matematiikka ei perustu kokemukseen eikä myöskään ole logiikan lakien alainen. Logiikka erittelee matematiikkaa, ja sitä on eräässä mielessä pidettävä sovellettuna matematiikkana. Klassinen logiikka, jota voidaan huoletta käyttää liikuttaessa äärellisyydessä, lakkaa olemasta täysin pätevä siirryttäessä äärettömiin joukkoihin. Niinpä kolmannen poissuljetun laki pätee äärellisessä lukujoukossa: jos E on äärellinen joukko luonnollisia lukuja, voidaan äärellisessä määrässä intuitiivisesti selviömäisiä päätelmiä ratkaista, sisältääkö se esimerkiksi jaottoman luvun vai ei. Jos taas E koostuu äärettömästä määrästä luonnollisia lukuja, väitettä, että E sisältää jaottoman luvun, voidaan pitää totena vain mikäli joko kyetään esittämään jaoton luku, joka on E:n alkio, tai osoittamaan keino sen konstruoimiseksi.

Alankomaalainen Arend Heyting (1898–1980) julkaisi 1930 intuitionistisen logiikan aksiomatisoinnin, joka eroaa klassiseksi nimitetystä logiikasta sikäli, että eräitä lakeja kuten kolmannen poissuljetun lakia ja kaksoisnegaation lakia ei siinä hyväksytä yleispäteviksi. Myöhemmin on tutkittu laajasti intuitionistista todistusteoriaa sekä intuitionistisen matematiikan formaalisia systeemejä.


Gödel

Itävaltalaissyntyinen Kurt Gödel (1906–1978) todisti vuonna 1930 ensimmäisen kertaluvun predikaattikalkyylin täydellisyyden eli kyvyn todistaa teoreemoina kaikki loogisesti validit kaavat. Hän aiheutti vuonna 1931 todellisen vallankumouksen logiikassa epätäydellisyysteoreemoillaan: hän osoitti jokaisen sellaisen formaalisen järjestelmän epätäydellisyyden, joka on riittävän laaja alkeisaritmetiikan ilmaisemiseen, sekä mahdottomuuden todistaa tällaista järjestelmää ristiriidattomaksi turvautumatta keinoihin, jotka ovat alaltaan laajempia kuin järjestelmä itse. Gödelin osoittama epätäydellisyys tarkoittaa, että aksiomaattisessa aritmetiikassa on tosia lauseita, joita ei voida todistaa aksioomista lähtien. Jos aritmetiikka on ristiriidaton, tämän ristiriidattomuuden ilmaiseva lause on juuri tällä tavoin todistumaton. Nämä tärkeät havainnot merkitsivät voittamatonta estettä formalistisille pyrkimyksille ja romuttivat toiveet Hilbertin ohjelman toteuttamisesta sen alkuperäisessä muodossa. Gödel muutti Yhdysvaltoihin vuonna 1938 ja jatkoi tutkimusta aksiomaattisen joukko-opin, laskettavuuden teorian ja intuitionistisen logiikan aloilla.


Tarski

Vaikka Frege ja Russell kirjoittivat semantiikkaan liittyvistä aiheista, kuten nimien ja määrättyjen kuvausten referenssistä, heidän (samoin kuin Hilbertin) aksiomaattinen lähestymistapansa logiikkaan oli syntaktinen tai todistusteoreettinen. Lauselogiikan semanttista tarkastelua edusti Russellin oppilaan Ludwig Wittgensteinin (1889–1951) (ks. Wittgenstein, Ludwig) vuonna 1921 esittämä totuustaulukkomenetelmä, jolla voidaan tarkistaa yhdistettyjen lauseiden totuusarvot riippuen osalauseiden totuusarvoista. (Ks. Formaali logiikka.) Saksalainen Leopold Löwenheim (1878–1957) todisti vuonna 1915 teoreeman, jonka mukaan jokaisella predikaattilogiikan lauseella, jolla on malli (ts. tulkinta missä se on tosi), on numeroituva (ts. luonnollisten lukujen joukon kanssa yhtä monilukuinen) malli. Tämä tulos, jonka Thoralf Skolem yleisti koskemaan lausejoukkoja, oli ensimmäinen tärkeä metateoreettinen tulos predikaattilogiikan malliteoriasta. Sen myöhempiä yleistyksiä ja vahvennuksia sanotaan Löwenheim-Skolem-teoreemoiksi. Skolem osoitti vuonna 1933, että aritmetiikalla on ”epästandardeja” malleja, jotka eivät ole isomorfisia eli rakenneyhtäläisiä luonnollisten lukujen joukon kanssa.

Puolalainen Alfred Tarski (1901–1983) kehitteli vuodesta 1930 alkaen formaalisten järjestelmien yleistä metateoriaa. Tällä alalla Tarskin voidaan katsoa varsinaisesti luoneen uuden tutkimuksen haaran, loogisen semantiikan, joka tarkastelee totuutta formaalisissa järjestelmissä. Klassisessa, vuonna 1936 (puolaksi jo vuonna 1933) ilmestyneessä tutkielmassaan Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen (”Totuuden käsite formalisoiduissa kielissä”) hän ratkaisi kysymyksen, miten tyyppiä S olevalle formaaliselle järjestelmälle on soveliaassa metasysteemissä määriteltävissä käsite ’tosi S:ssä’. Tässä S voi olla esimerkiksi joukko-opin kieli tai ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikka. Tarski tekee tärkeän erottelun tutkimuksen kohteena olevan objektikielen ja tutkijoiden käyttämien metakielen välillä. Tarski osoitti, että tämän eron huomiotta jättäminen johtaa semanttisiin paradokseihin. Ollakseen ristiriidaton kielen kaikkien lauseiden totuudesta ja epätotuudesta ei voi puhua kyseisessä kielessä itsessään, vaan sitä ”ulkoapäin” tarkastelevassa metakielessä.

Tarski muutti Yhdysvaltoihin vuonna 1939 ja toimi vuodesta 1942 Californian yliopistossa Berkeleyssä, jossa hän perusti vaikutusvaltaisen koulukunnan. Tarski on pääasiallisesti tutkinut malliteoriaa, joukko-oppia, algebrallista logiikkaa sekä nykyaikaisen logiikan menetelmien ja tulosten soveltamista matematiikan perusteiden tutkimiseen. Tarskin malliteoriasta on 1950-luvulta lähtien muodostunut yksi logiikan keskeisistä tutkimusalueista.


Carnap

Rudolf Carnap (1891–1970) on tärkeimmissä tutkimuksissaan käsitellyt pikemminkin logiikan filosofiaa ja nykyaikaisen logiikan metodien soveltamista tietoteoriaan ja tieteenfilosofiaan kuin varsinaista logiikkaa. Carnapilla oli keskeinen asema Wienin piirissä loogisen uuspositivismin kehittäjänä (ks. Looginen positivismi ja Wienin piiri). Teoksessaan Der logische Aufbau der Welt (1928, ”Maailman looginen rakentuminen”), johon antoivat sysäyksen itävaltalainen Ernst Mach (1838–1916) ja Russellin Principia mathematica, Carnap käytti uutta logiikkaa fenomenalistisen ohjelman läpivientiin, ts. maailman konstituoimiseen lähtemällä välittömän kokemuksen perusasioista, ”elementaarielämyksistä”. Hänen formaalisten järjestelmien metateorian tutkimuksensa Logische Syntax der Sprache (1934, ”Kielen looginen syntaksi”) suositteli filosofian tehtäväksi ”tieteen kielen syntaksin tutkimusta”. Vaikka teos painotti formaalisten kielten syntaksia, se ennakoi myös loogisen semantiikan ideoita.

Carnap muutti Chicagoon vuonna 1936 ja opetti Kalifornian yliopistossa Los Angelesissa vuodesta 1964 lähtien. Looginen semantiikka, jota Carnap kehitti vuodesta 1935 lähtien Tarskin inspiroimana, on systemaattisesti esitetty teoksessa Introduction to Semantics (1942, ”Johdatus semantiikkaan”). Kirjassaan Meaning and Necessity (1948, ”Merkitys ja välttämättömyys”) ja useissa muissa julkaisuissaan Carnap pyrki selvittämään semantiikan ja modaalilogiikan peruskäsitteitä. Merkittäviä ovat myös hänen tutkimuksensa induktiologiikasta ja todennäköisyysteoriasta, etenkin The Logical Foundations of Probability (1950, ”Todennäköisyyden loogiset perusteet”).


Church

Yhdysvaltalainen Alonzo Church (1903–1982) antoi ensimmäisen todistuksen ensimmäisen kertaluvun predikaattikalkyylin ratkeamattomuudelle. Löwenheim oli jo vuonna 1915 osoittanut, että monadinen (vain yksipaikkaisia predikaatteja sisältävä) predikaattikalkyyli on ratkeava, ts. mielivaltaisesta kaavasta voidaan osoittaa, onko se loogisesti validi vai ei. Church osoitti vuonna 1936, ettei tämä enää pidä paikkaansa, jos logiikassa on mukana relaatioita eli useampipaikkaisia predikaatteja. Hänen tuloksensa mukaan ei ole algoritmia kysymyksen ’Onko A predikaattilogiikan teoreema vai ei?’ ratkaisemiseksi. Tätä tulosta varten hän määritteli täsmällisesti algoritmin tai rekursiivisen funktion käsitteen. Samana vuonna hän esitti nimeään kantavan teesin, jonka mukaan kaikki efektiivisesti laskettavat funktiot ovat rekursiivisia. Church oli vuonna 1936 perustamassa alan järjestöä Association for Symbolic Logic, ja hän toimi vuosikymmeniä keskeisen lehden The Journal of Symbolic Logic päätoimittajana. Hänen teoksensa Introduction to Mathematical Logic (1944, 2. p. 1966, ”Johdatus matemaattiseen logiikkaan”) on ollut alan tärkeimpiä oppikirjoja.


Viimeaikaisia ilmiöitä

Fregestä ja Peircestä alkanut modernin logiikan tutkimus saavutti tärkeät ja monin tavoin yllättävät tuloksensa 1930-luvun loppuun mennessä. Toisen maailmansodan jälkeen logiikan tutkimus on ollut laajaa monissa suunnissa, joita edustavat mm. rekursioteoria, malliteoria ja todistusteoria. Matematiikan perusteiden tutkimukseen liittyy myös aksiomaattinen joukko-oppi ja sen malliteoria. Formaalisen logiikan järjestelmiä on laajennettu monilla tavoilla, ja filosofian puolella on kehitetty uusia intensionaalisen logiikan systeemejä, joiden tutkimusta kutsutaan usein ”filosofiseksi logiikaksi”.

Täsmällisen karakterisoinnin efektiivisen laskettavuuden käsitteelle antoivat vuonna 1936 Church, englantilainen Alan Turing (1912–1964), Gödel, Post ja yhdysvaltalainen S. C. Kleene (1909–1994). Kaikki erilaiset luonnehdinnat johtivat samaan rekursiivisten funktioiden luokkaan. Vaikka Church ja Turing todistivat ratkeamattomuusteoreeman predikaattikalkyylille, ratkaisuongelma on kuitenkin onnistuttu ratkaisemaan myönteisesti useissa erikoistapauksissa. Kokonaisesityksen on antanut saksalainen Wilhelm Ackermann (1896–1962) teoksessaan Solvable Cases of the Decision Problem (1954, ”Ratkaisuongelman ratkeavia tapauksia”). Ennen kaikkea Kleenen ja Postin toimesta rekursioteoriasta on kehittynyt yleinen ongelmien ratkaisun vaikeusasteen teoria (hierarkiat, ratkeamattomuuden asteet), joka muodostaa yhden matemaattisen logiikan keskeisen tutkimusalueen.

Laskettavuuden teoria – erityisesti Turingin ansiosta – johti nopeasti tietokoneiden kehittymiseen 1940-luvulla. Näin logiikkaan liittyvä perustutkimus johti uuteen digitaaliseen aikakauteen. Laskettavuus liittyy läheisesti matemaattiseen automaattien teoriaan, jota Suomessa on tutkinut Arto Salomaa (1934–). Logiikasta on tullut tärkeä väline tietojenkäsittelytieteen ja sen piiriin kuuluvan tekoälyn (AI eli Artificial Intelligence) tutkimisen piirissä.

Toinen matemaattisen logiikan keskeinen alue 1950-luvulta lähtien on ollut malliteoria, jossa tutkitaan formaalikielten lauseiden toteutumista malleiksi sanotuissa struktuureissa. Malliteorian tärkeimpiin sovelluksiin kuuluu matemaattisten teorioiden täydellisyyden ja ristiriidattomuuden tutkiminen. Malliteoriaan perustuvat mm. Abraham Robinsonin (1918–1978) epästandardi analyysi, jossa operoidaan ”äärettömän pienillä” epästandardeilla reaaliluvuilla, sekä joukko-opin riippumattomuustodistukset. Esimerkiksi Gödel todisti vuonna 1940, että mikäli Zermelon ja Fraenkelin (ZF) joukko-opin aksiomatisointi ilman valinta-aksioomaa on ristiriidaton, se pysyy sinä myös mikäli aksioomaan lisätään valinta-aksiooma tai yleistetty kontinuumihypoteesi tai molemmat. Yhdysvaltalainen Paul Cohen (1934–2007) puolestaan osoitti uudella pakottamismenetelmällä (engl. forcing) vuonna 1962, että valinta-aksiooma ja kontinuumihypoteesi eivät ole johdettavissa ZF-joukko-opin aksioomeista.

Vahvoja äärettömyysoletuksia sisältävät joukko-opin ja kategoriateorian lähestymistavat ovat suosittuja nykyisissä matematiikan perusteiden tutkimuksissa. Niiden kanssa kilpailee konstruktivistinen asenne, joka ilmenee paitsi intuitionisteilla myös mm. venäläisen A. A. Markovin koulun teorioissa, saksalaisen Paul Lorenzenin (1915–1994) operatiivisessa logiikassa, joka merkitsee intuitionismin liberaalista muunnosta, sekä Georg Kreiselin ideoissa intuitionismista ja todistusteoriasta.

Kombinatorinen logiikka, jonka loi venäläinen M. Schönfinkel 1924 ja jota kehitti yhdysvaltalainen H. B. Curry (1900–1982), on tullut ajankohtaiseksi eräiden lingvistisen teorian edistysaskeleiden johdosta. Teoreettiselta kannalta kombinatorinen logiikka on kiinnostava varsinkin sen vuoksi, että se on tuonut uutta valoa muuttujien rooliin ja korvattavuuden käsitteeseen matemaattisen logiikan symbolismissa.

Todistusteorian tutkimus on jatkunut aktiivisena. Suurisuuntaisia matematiikan perusteiden järjestelmiä ovat muodostaneet yhdysvaltalainen Saul Feferman (1928–) ja ruotsalainen Per Martin-Löf (1942–). Suomessa Ketosen todistusteoreettisia töitä on jatkanut Jan von Plato (1951–) yhdessä Sara Negrin (1967–) kanssa.

Niin pian kuin klassinen logiikka alkoi saada vakiintuneen muotonsa Russellin ja Hilbertin ansiosta, alkoi syntyä myös vaihtoehtoisia ”ei-klassisen logiikan” järjestelmiä. Puolalainen Jan Łukasiewicz (1878–1956), Lvovin ja Varsovan koulun johtava edustaja Stanisław Lesniewskin (1886–1939) ohella, esitti vuonna 1920 kolmiarvoisen lausekalkyylin, joka liittyi Aristoteleen teoriaan tulevista tapahtumista. Tässä kalkyylissa kolmas totuusarvo voidaan tulkita epävarmuudeksi. Sitten hän Postista riippumatta esitti 1920-luvun lopulla Tarskin kanssa yleistyksen moniarvoisiin kalkyyleihin. Łukasiewicz oletti, että modaalikäsitteet (kuten ’mahdollinen’) voidaan perustaa moniarvologiikkaan. Lisäksi hän on suorittanut tärkeitä tutkimuksia logiikan historiasta, etenkin aristoteelisesta syllogistiikasta.

Materiaalisen implikaation ”paradoksien” vuoksi yhdysvaltalainen Clarence Irving Lewis (1883–1964) ryhtyi kehittämään implikaation käsitettä, joka mahdollisimman paljon lähenisi sitä, mitä tarkoitetaan sanottaessa, että kaava A implikoi kaavan B. Lewisin tiukka (engl. strict) implikaatio (merkki ≺) vastaa välttämätöntä materiaalista implikaatiota: jos A ja B ovat lauseita, niin A ≺ B on tosi siinä ja vain siinä tapauksessa, että A ja ei-B eivät voi olla tosia yhtä aikaa. Lausekalkyyli varustettuna tiukalla implikaatiolla muotoiltiin ensimmäisen kerran tyydyttävästi vuonna 1920. Teoksesta Symbolic Logic (1932, ”Symbolinen logiikka”), jonka Lewis kirjoitti yhdessä yhdysvaltalaisen C. H. Langfordin kanssa ja joka yksityiskohtaisesti käsittelee tätä kysymystä, on tullut modaalilogiikan käsikirja, johon pohjautuvat useimmat tämän alan myöhemmät tutkimukset.

1960-luvulta lähtien on tapahtunut voimakasta kehitystä tavallisen ensimmäisen kertaluvun logiikan laajennusten ja vahvennusten tutkimisessa. Esimerkkejä näistä ovat äärettömät kielet ja yleistetyt kvanttorit. Jaakko Hintikka (1929–) on tutkinut Veikko Rantalan (1933–) kanssa äärettömän syviä kieliä sekä kehittänyt peliteorettista semantiikkaa sekä formaalisille että luonnollisille kielille. Hänen yhdessä Gabriel Sandun (1954–) kanssa luoma ”riippumattomuusystävällinen” (engl. independence-friendly) IF-logiikka sallii yksilöiden yli varioivia kvanttoreita, joiden välillä voi olla riippuvuus- tai riippumattomuussuhteita. Tämä logiikan laajennus on osoittautunut erittäin ilmaisuvoimaiseksi.

Logiikan laajennusten välisten suhteiden selvittämiseksi on syntynyt yleisiä teorioita ja lähestymistapoja (abstrakti logiikka, admissiibelien joukkojen teoria, induktiivisten määritelmien teoria), jotka hyvin abstraktilla tasolla yhdistävät logiikan pääaloja. Tällä alalla ansioituneita tutkijoita ovat yhdysvaltalainen Jon Barwise (1942–2000) ja suomalainen Jouko Väänänen (1950–).

Logiikan ja filosofian välillä on edelleen läheinen yhteys. Samaan tapaan kuin matematiikan filosofiassa pohditaan matemaattisten olioiden olemassaoloon liittyviä ontologisia kysymyksiä ja matemaattisen totuuden luonnetta, logiikan filosofiassa (engl. philosophy of logic) tarkastellaan abstraktien entitteettien (ominaisuudet, propositiot) olemassaoloa ja loogisen totuuden luonnetta. Rintamalinjat muistuttavat keskiajan universaalikiistaa: logisistit ovat tavallisesti realisteja, formalistit nominalisteja ja intuitionistit konseptualisteja.

Sen sijaan filosofisessa logiikassa (engl. philosophical logic) ollaan kiinnostuttu logiikan soveltamisesta esimerkiksi kielifilosofian ja mielen filosofian välineenä sekä tällaisiin tarkoituksiin kehitetyistä formaalisista järjestelmistä. Vahva perinne tällä alalla on Hollannissa, edustajanaan mm. Johan van Benthem (1949–).

Erikoinen filosofisen logiikan ala on parakonsistentti logiikka, joka sallii ristiriitaiset kaavat, mutta rajoittaa päättelysääntöjä niin, että ristiriidasta ei voida johtaa mitä tahansa väitettä. Nimitystä ”parakonsistentti logiikka” esitti brasilialainen Newton da Costa (1929–) vuonna 1963, mutta ensimmäisen tällaisen systeemin esitti puolalainen Stanisław Jaskowski diskurssilogiikassaan vuonna 1948. Myös Alan Ross Andersonin (1925–1973) ja Nuel Belnapin (1930–) vuonna 1959 muotoilema relevanssilogiikka kuuluu tämän otsikon alle. Parakonsistenttien järjestelmien perusteena on joskus esitetty kiistanalainen teesi, jonka mukaan todellisuus itse on ristiriitainen (Graham Priest). Adaptiivista logiikkaa on kehitetty keksimisen logiikkana.

Totuuden käsitteen tutkimuksista merkittäviä ovat mm. yhdysvaltalaisen Saul Kripken (1940–) totuusarvojen teoria, jolla pyritään välttämään valehtelijaparadoksi, Hintikan peliteoreettinen semantiikka, epämääräisten (engl. vague) käsitteiden semantiikka, sumea logiikka (engl. fuzzy logic) sekä Karl Popperin inspiroima totuudenkaltaisuuden (engl. truthlikeness, verisimilitude) käsite, jota Suomessa on tutkinut Ilkka Niiniluoto (1946–).

Suomalaisilla filosofeilla on ollut 1950-luvulta lähtien merkittävä panos intensionaalisen logiikan alalla tapahtuneessa nopeassa edistymisessä. Eino Kailan (1890–1958) (ks. Kaila, Eino) oppilaana induktiosta ja todenäköisyydestä vuonna 1941 väitellyt Georg Henrik von Wright (1916–2003) (ks. von Wright, Georg Henrik) toimi vuosina 1948–1951 Cambridgen yliopistossa Ludwig Wittgensteinin seuraajana. Tuolta ajalta ovat peräisin hänen uraauurtavat tutkimuksensa modaalilogiikasta (mahdollisuus ja välttämättömyys) ja deonttisesta logiikasta (saaminen ja pitäminen). Normilogiikan ohella von Wright kehitteli myöhemmin myös aikalogiikkaa ja preferessien logiikkaa.

Jaakko Hintikka sai von Wrightiltä vaikutteita distributiivisia normaalimuotoja käsittelevään väitöskirjaansa (1953), minkä jälkeen hän kehitti Bethin taulukkoja vastaavan mallijoukkomenetelmän todistuksia varten. Hintikka oli ruotsalaisen Stig Kangerin (1924–1988) ohella ensimmäinen, joka muotoili 1957 mahdollisten maailmojen semantiikan modaalilogiikalle. Vuonna 1962 Hintikka julkaisi episteemisen logiikan perusteoksen Knowledge and Belief (”Tieto ja usko”) ja vuonna 1964 hän esitti uuden induktiologiikan järjestelmän, jossa – Carnapin systeemistä poiketen – aidoilla yleistyksillä voi olla nollaa suurempia todennäköisyyksiä. Molemmista aiheista on tullut kukoistavia tutkimusaloja. Hintikka on itse soveltanut tiedon ja uskon logiikkaa kysymysten logiikkaan, tietoteoriaan ja tutkimustyön menetelmien mallintamiseen. Myös tekoälyn tutkijat ovat tarttuneet innokkaasti tähän teemaan, josta on kehittynyt uskomusten muutoksia tarkasteleva dynaaminen episteeminen logiikka. Sillä on tärkeitä yhteyksiä mm. bayesiläiseen induktioteoriaan ja ruotsalaisen Peter Gärdenforsin (1949–) rakentamaan uskomusten revisioinnin teoriaan.


Logiikan historian tutkimus Suomessa

Suomalaiset filosofit ovat monipuolisesti tutkineet logiikan historiaa. Jaakko Hintikka on analysoinut Aristoteleen modaaliteoriaa ja Marja-Liisa Kakkuri-Knuuttila (1945–) Aristoteleen topiikkaa. Simo Knuuttila (1946–) on tutkinut keskiajan modaalilogiikkaa ja Mikko Yrjönsuuri (1964–) obligationes-päätelmiä. Raili Kauppi (1920–1995) väitteli 1960 Leibnizin logiikasta. Risto Vilkko on väitellyt saksalaisen logiikan vaiheista 1800-luvulla, Ilmari Jauhiainen on väitellyt Hegelin logiikasta, Toni Kannisto on väitellyt Kantin modaaliteoriasta ja -logiikasta, Leila Haaparanta (1954–) on tunnettu Frege-asiantuntija, ja Ahti-Veikko Pietarinen (1971–) on tarkastellut Peircen eksistentiaalisia graafeja. Suomen logiikan vaiheita Turun akatemian alkuaikoina on selvittänyt Jaakko Lounela, ja modernin logiikan tulosta Suomeen on väitellyt Michael von Boguslawski.


Suositeltavaa jatkolukemista

Benacerraf, Paul ja Putnam, Hilary (toim.) (1983). Philosophy of Mathematics, 2nd ed.. Cambridge University Press, Cambridge.
- Klassisia kirjoituksia matematiikan filosofiasta.

Bochenski, J. M. (1970). A History of Formal Logic. Chelsea, New York.
- Laajahko yleisesitys, mukana myös intialainen logiikka.

von Boguslawski, Michael (2011). Proofs, Paradoxes, and Probabilities: The Logical Turn of Philosophy in Finland. University of Helsinki.
- Väitöskirja logiikan läpimurrosta suomalaisessa filosofiassa (Oiva Ketonen, Erik Stenius, G. H. von Wright)

Cohen, Morris ja Nagel, Ernest (1934). An Introduction to Logic and Scientific Method. Routledge and Kegan Paul, London.
- Perinteinen logiikan ja tieteellisen metodin oppikirja

Gabbay, Dov, Stephan Hartmann ja Woods, John (toim.) (2011). Handbook of the History of Logic, vol. 10: Inductive Logic. Elsevier, Amsterdam.
- Yksitoistaosaisen kattavan käsikirjan induktiologiikkaa käsittelevä osa.

Goble, Lou (toim.) (2001). The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Blackwell, Oxford.
- Blackwellin luotettavia käsikirjoja.

Haaparanta,. Leila (toim.) (2009). The Development of Modern Logic. Oxford University Press, Oxford.
- Laaja katsaus moderniin logiikkaan.

Hintikka, Jaakko (1973). Time and Necessity, Studies in Aristotle's Theory of Modality. Oxford.
- Tutkielmia Aristoteleen modaaliteoriasta.

Jacquette, Dale (toim.) (2001). Philosophy of Logic: An Anthology. Wiley-Blackwell, Oxford.
- Klassisia kirjoituksia logiikan filosofiasta.

Jacquette, Dale (toim.) (2006). Philosophy of Logic. North-Holland, Amsterdam.
- Laajan tieteenfilosofian käsikirjasarjan nide logiikan filosofiasta.

Jauhiainen, Ilmari (2011). Constructions and Situations: A Constructivist Reading of Hegel’s System. Helsingin yliopisto, Helsinki.
- Väitöskirja Hegelin logiikasta.

Kakkuri-Knuuttila, Marja-Liisa (1993). Dialectics and Inquiry in Aristotle. Helsingin yliopiston filosofian laitos, Helsinki.
- Väitöskirja Aristoteleen Topiikasta.

Kannisto, Toni (2012). From Thinking to Being – Kant’s Modal Critique of Metaphysics. Oslon yliopisto, Oslo.
- Väitöskirja Kantin modaaliteoriasta ja -logiikasta suhteessa metafysiikkaan.

Kauppi, Raili (1960). Über die Leibnizsche Logik mit besondere Berücksichtigung des Problems der Intension und der Extension. Acta Philosophica Fennica 12, Helsinki.
- Väitöskirja Leibnizin logiikasta.

Knuuttila, Simo (1993). Modalities in Medieval Philosophy. Routledge, London.
- Modaalilogiikan synty Aristoteleella ja keskiajan loogikoilla.

Kneale,William ja Kneale, Martha (1962). The Development of Logic. Oxford University Press, Oxford, 1962.
- Klassinen laaja yleisesitys logiikan historiasta.

Marenbon, John (1997). The Philosophy of Peter Abelard. Cambridge University Press, Cambridge.
- Abelardin logiikan ja filosofian esittely.

Mates, Benson (1961). Stoic Logic, 2nd ed. University of California Press, Berkeley.
- Stoalaisen logiikan tarkastelua.

Mostowski, Andrzej (1967). Thirty Years of Foundational Studies. Acta Philosophica Fennica 17, Helsinki.
- Matemaattisen logiikan vaiheet vuosina 1930–1964.

Patzig, Günther (1959). Die aristotelische Syllogistik. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen.
- Tutkielma Aristoteleen syllogistiikasta.

Pietarinen, Ahti-Veikko (2006). Signs of Logic: Peircean Themes on the Philosophy of Language, Games, and Communication. D. Reidel, Dordrecht.
- Tuore arvio Peircen logiikan merkityksestä.

Shapiro, Stewart (toim.) (2005). The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic. Oxford University Press, Oxford.
- Kattava katsaus matematiikan filosofiaan.

Styazkin, N. I. (1969). History of Mathematical Logic from Leibniz to Peano. The M.I.T. Press, Cambridge, MA.
- Yleiskatsaus modernin logiikan vaiheisiin.

Vilkko, Risto (2002). A Hundred Years of Logical Investigations: Reform Efforts of Logic in Germany 1781–1879. Mentis, Paderborn.
- Väitöskirja saksalaisesta logiikasta Kantista Fregeen.

Wolenski, Jan (1989). Logic and Philosophy in the Lvov-Warsaw School. D. Reidel, Dordrecht.
- Puolan vaikutusvaltaisen loogikkokoulun historia.

Yrjönsuuri, Mikko (1994). Obligationes: 14th Century Logic of Disputational Duties. Acta Philosophica Fennica 55, Helsinki.
- Väitöskirja keskiajan logiikan obligaatioista.


Kirjallisuus

Aristoteles (1994). Kategoriat, Tulkinnasta, Ensimmäinen analytiikka, Toinen analytiikka. Suom. Lauri Carlson, Simo Knuuttila ja Juha Sihvola. Gaudeamus, Helsinki.

Aristoteles (2002). Topiikka, Sofistiset kumoamiset. Suom. Juha Sihvola ja Marke Ahonen. Gaudeamus, Helsinki.

Arnauld, Antoine (1662). La Logique ou l’Art de Penser. Englanniksi: The Art of Thinking: Port-Royal Logic. Bobbs-Merrill, Indianapolis, 1964.

Bacon, Francis (1960). The New Organon. Bobbs-Merrill, Indianapolis.

Bolzano, Bernard (1837). Die Wissenschaftslehre, oder Versuch einer neuer Darstellung der Logik. Seidel, Sulzbach. Englanniksi: Theory of Science. Blackwell, Oxford, 1972.

Boole, George (1856). The Laws of Thought. Macmillan, London. (Dover, New York, 1958.)

De Morgan, Augustus (1847). Formal Logic, or the Calculus of Inference, Necessary and Probable. Taylor & Walton, London.

Frege, Gottlob (1893). Grundgesetze der Arithmetik. Hermann Pohle. Englanniksi: The Basic Laws of Arithmetic. University of California Press, Berkeley, 1967.

Gödel, Kurt (1986 & 1990). Collected Works I-II. Oxford University Press, Oxford.

van Heijenoort, Jean (toim.) (1967). From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic 1874–1931. Harvard University Press, Cambridge, MA.

Kant, Immanuel (1800). Logik. Königsberg. Englanniksi: Logic. Bobbs-Merrill, Indianapolis, 1974.

Niiniluoto, Ilkka (1978). Hakusana “Logiikka”, s. 3793–3806 teoksessa Huovinen, Pentti & Nurminen, Matti (et. al.) (toim.) 1978. Otavan suuri ensyklopedia. 10, Liennytys – makuaisti. Helsinki, Otava.

Peirce, Charles S. (toim.) (1883). Studies in Logic. Little, Brown and Co., Boston.

Russell, Bertrand (1938). The Principles of Mathematics, 2nd ed. Norton, New York.

Wittgenstein, Ludwig (1922). Tractatus Logico-Philosophicus. Kegan Paul, London. Suom. Heikki Nyman. WSOY, Porvoo, 1971.


Internet-lähteitä

Internet Encyclopedia of Philosophy
- Logic (useita artikkeleita)

Stanford Encyclopedia of Philosophy
- Ancient Logic, Medieval Theories of Consequences, Medieval Theories of Obligationes, Port Royal Logic, ym. logiikan historiaa käsitteleviä artikkeleja.